1 题目：写出下列信号中的一种信号的数学表达通式，求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统，试讨论信号参数的取值，使得输出信号的失真小。

（选其中一个信号）0002=tan ,=45,=1w 2K T s T πααπ==假设锯齿波的斜取周期，则圆周率，A=1 2 幅频谱和相频谱00()(+nT )(<t<T )w t w t K t t ==⋅=0将其分解为三角函数表示形式的傅里叶级数，200-002111=(t)==2T T T a w dt tdt T T ⎰⎰()2000-00222()cos()cos()0T T T n a w t nw t dt t nw t dt T T ==⋅=⎰⎰()2000-00222()sin()sin()1=(123)T T T n b w t nw t dt t nw t dtT T n nπ==-=⎰⎰、、……式中002==2w T ππ 。

所以0001111(t)=(sin(w t)+sin(2w t)+sin(3w t)+223w π-…)转换为复指数展开式的傅里叶级数：0000000-2021-0--100-022220001=(t)e =e 11 =e e |11=e (2)T jnw t T n jnw t jnw t jnw t jnw t c w dtT t dtt jnw jnw jnw n w n w w π-⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭+-=⎰⎰ 其中 当n=0时，01==22A c ，0=0ϕ ； =1,2,3,n ±±±当…时，111222n n c A n π=== ，1,2,32=1,2,32n n n πϕπ⎧=⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩ 等 等用Matlab 做出其双边频谱图 1锯齿波双边幅频谱A = 1 T0 = 1图 2锯齿波双边相频谱单边频谱：图 3锯齿波单边频谱3 频率成分分布由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，锯齿波是由一系列正弦波A = 1 ; T0 =1-20-15-10-55101520单边幅频谱2468101214161820单边相频谱叠加而成，正弦波的频率由0w 到20w ，30w ……，其幅值由A π到2A π，3Aπ，……依次减小，各频率成分的相位都为0。

3.1H(s)伯德图`3.1.2 二阶系统2240()2nn nH s s s ωζωω=++M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)M a g n i t u d e (d B )Bode DiagramBode Diagram4 讨论减小失真的措施4.1 一阶系统对特定频率影响频率成分由0001111(t)=(sin(w t)+sin(2w t)+sin(3w t)+223w π-…)构成，对于每一个频率成分，一阶系统的响应为：-/(t)=A'[sin(wt+)-e sin ]t y τϕϕ式中 21'=1+()A τω ， =-arctan ()ϕτω ，2sin =-1+()τωϕτω由于T 0=1s ，所以0=2w π 。

对于=0.005, 0.01, 0.015,0.02τ，w =0w ，20w ，30w …，A=A π，2A π，3A π…的频率成分， 可以得到其相应的响应 表 1幅值变化τA W0.005 0.1 0.5 0.70w0.3182 0.2695 0.0965 0.0706 20w0.15880.09910.02500.018M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)ξ=0.7,ω_n=40M a g n i t u d e (d B )101010101010P h a s e (d e g )Bode DiagramFrequency (rad/s)ξ =0.7, ω_n=60030w 0.1056 0.0497 0.0112 0.008表 2相角变化φ W0.005 0.1 0.5 0.7 0w-1.7994 -32.1419 -72.3423 -77.1908 20w -3.5953 -51.4881 -85.9569 -83.5143 30w-5.3841-62.0533-83.9434-85.66594.1.1 一阶系统Simulink 仿真图 4一阶系统simulink 方框图4.1.2 一阶系统响应输出图 5一阶系统输出对于一阶系统，为了实现近似不失真，要求1<<w τ，由上面的响应输出图像也可以看出这一结果。

下图绘制出了在不同的时间常数下一阶系统对于不同的w 下幅值和相位被放大和滞后的变化趋势。

一阶系统的幅频和相频：()()arctan()A w w w ϕτ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ Matlab 程序：%%求一阶系统的幅频谱 t1= [0.005 0.1 0.5 0.7]; for n =1:4w = 0:0.01:200;A = 1./sqrt(1+(t1(n)*w).^2); plot(w,A) hold on end%%求一阶系统的相频谱00.51图1 τ=0.00500.51图1 τ=0.100.51图1 τ=0.500.511.5图1 τ=0.7for n =1:4w = 0:0.01:200;P = -atan(t1(n)*w)/pi*180; plot(w,P) hold on end图 6一阶系统不同常数下幅值变化图 7一阶系统不同常数下相角变化00.10.20.30.40.50.60.70.80.91ωA (ω)20406080100120140160180200-90-80-70-60-50-40-30-20-100wφ(w )4.2 二阶系统输出响应分析-3(t)=Asin(wt+)-sin (+)nw td dy e t ζωϕωϕωA ，22()=-arctan ()1-()nnw w w w ζϕd w 是系统在阻尼比为ζ时（<1ζ）做有阻尼振荡时的圆频率322=-arctan 1-()-2nw ϕζ4.2.1 二阶阶系统Simulink 仿真图 84.2.1 二阶阶系统Simulink 仿真4.2.2 二阶系统响应输出图 9二阶系统在不同参数下响应对于二阶系统，为了实现近似不失真，阻尼比=(0.65~0.7)ζ，此二阶系统取，因为此时不产生谐振A(w)曲线无峰值，输入信号中不可忽视的最高频率应小于0.6~0.8n w （），以使A(w)=1尽量接近，(w)ϕ 尽量与w 成线性关系。

从以上图可以看出当=0.74038n ζω=，和时,二阶系统可以很好的检测锯齿波，=0.710600n ζω=，和时，锯齿波幅值和相位都有失真现象。

-0.100.1图1 ωn =600,ξ=0.7024n =10,ξ=0.700.511.5n =38,ξ=0.70.51n =40,ξ=0.7二阶系统的幅频和相频：2=2()=-arctan ()1-()nn A ww w w ζϕ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ %%求二阶系统的幅频谱wn= [10 38 40 600]; for n =1:4w = 0:0.01:200;A = 1./sqrt(((1-(w./wn(n)).^2).^2)+4*0.7*0.7*(w./wn(n)).^2); plot(w,A) hold on grid on endA = 1./sqrt(((1-(w./wn(4)).^2).^2)+4*0.7*0.7*(w./wn(4)).^2); plot(w,A)%%求二阶系统的相频谱 for n =1:4w = 0:0.01:200;P = -atan(2*0.7*(w./wn(n))./(1-(w./wn(n)).^2))/pi*180; plot(w,P) hold on end图 10二阶系统不同参数的幅频谱图 11二阶系统不同参数的相频谱参考文献[1] 邵东向. 李良主编 机械工程材料测试基础. 哈尔滨工业大学出版社. 2003年 [2] 梅晓榕. 庄显义编 自动控制原理（第二版）科学出版社2007年2月2040608010012014016018020000.20.40.60.811.21.4wA (W )20406080100120140160180200-100-80-60-40-20020406080100wφ(w )。