(λ1λ2 …λn +μ1μ2 …μn = │P│2 │A │ + │P│2 │
B │,即 │A +B │≥│A │ + │B │.
(4)若 A 是实对称的正定矩阵 ,则存在 a > 0, b
> 0, c > 0,使 aE + A , E + bA , cE - A 均是正定矩
阵。
证明
若
A
的特征值为
中图分类号 : O151. 2 文献标识码 : A
1 引言 代数学是数学中的一个重要的基础分支 ,而正
定矩阵又是高等代数中的重中之重. 特别是正定矩 阵部分的应用很广泛 ,本文提供解决正定矩阵问题 的方法并阐明它在实际中的应用 。 2 正定矩阵的等价定理
判定一个矩阵是正定的除用定义外还可以运 用一些等价定理 ,下面给出了一些判定矩阵正定的 充要条件 。
(1)正定矩阵的充要条件是 : A 的正惯性指数 等于 A 的维数 n (证明略 ) 。
(2) A 是正定矩阵的充要条件是 : A 合同于单
收稿日期 : 2008 - 06 - 19
同的合作 (控制 )模式 ,考察了在不同模式下的定 价策略和收益变动 ,同时针对不同的模式优势展开 了分析 。传统的供应链只注重对销售渠道的分析 ,
PT (A
+ 2E ) P = diag (λ1
+
2
,
λ 2
+
2,
…,
λ n
+
2) ,
其中
λ i
(i
= 1,
2,
…,
n)为
A 的特征值且大于零.
所
以
λ i
+2
(
i
= 1,
2,
…,
n)为
A
+ 2E的特征值
,也是
大于零的. 所以 │A + 2E │ = (λ1 + 2 ) (λ2 + 2 ) …
(λn + 2) ≥2n (用到第四个结论 ) 。
λ i
,
1
≤
i≤n
,则
aE
+A
的特征值为 a +λi , 1 ≤ i≤n,所以存在 a使 aE + A
的特征值大于零 ,其余同理可证 。
(5)已知 A 是 n阶正定矩阵 ,则 Ak ( k是正整
数 )也是正定矩阵 。
证明 Ak 与 A 的特征值有熟知的关系 ,故从
特征值角度入手考虑. 根据 A 正定 ,即知其特征值
证明 存在实可逆矩阵 P使
PTAP = diag (λ1 ,λ2 , …λn ) PTB P = diag (μ1 ,μ2 ,
…μn
)
,其中
λ i
> 0,μi
> 0. 取行列式
│P│2 │A │
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A - 1 , ( │A │ > 0) , ∴A3 也正定 。
( 2)若 A , B 都是 n阶实对称矩阵 ,且 B 是正定
矩阵. 证明存在一 n 阶实可逆矩阵 P 使 PTAP 与 PTB P同时为对角形 。
证明 ∵B 是正定的 , ∴合同于 E,即存在可
逆阵 U 使 UTBU = E; 且 A 是 n 阶实对称矩阵 ,则
法二 :因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩
阵 ,所以 │A + 2E │≥│A │ + │2E │ > 2n (用到
了第五个结论 ) 。
( 6 )若
A是
n阶实对称正定矩阵
,则必有
α 11
> 0,α22 > 0, …,αnn > 0。
证明 根据定义 ,对一切 X ≠0 皆有 XTAX >
0,故依次令 X = e- 1 , …en ,就有 ( e1 ) TAe1 > 0,即
β 2
,
…,βn
)
,令
α i
=
λβ ii
(
i
=
1,
2,
…,
n)
,其中
α i
(
i
=
1,
2,
…, n)为正交向量组 ,即得 A =α1α1 T +α1α2 iT + …
+αnαn T。
充分 性 : A =α1α1 iT +α2α2 T + … +αnαn T =
α 1
α
(αT ,α2 T , …,αn T )
(UTAU ) T =UTATU ,存在正交矩阵 C使 CT (UTAU ) C = diag (λ1 ,λ2 , …,λn ) ,则
CT (UTBU ) C = CT EC = CT C = E,
取 P =UC,则 P为所求.
(3)若 A , B 都是 n阶正定矩阵 ,证明 │A + B
│≥│A │ + │B │。
第 10卷 第 5期 2 0 0 8年 1 0月
辽宁省交通高等专科学校学报
JOURNAL OF L IAON ING PROV INC IAL COLLEGE OF COMMUN ICATIONS
文章编号 : 1008 - 3812 (2008) 05 - 031 - 03
正定矩阵及其应用
Vol. 10 No. 5 Oct. 2 0 0 8
第 5期
岳贵鑫 :正定矩阵及其应用
=λ1 ,λ2 ,λn , │P│2 │B │ =μ1 ,μ2 …μn。
PT (A + B ) P = diag (λ1 +μ1 ,λ2 +μ2 , …λn +
μ n
)
,两边取行列
:
│p │2 │A + B │ = (λ2 +μ2 ) … (λn +μn ) ≥
值 )。
充分性 :对任给 X≠0, XTAX = XTB2 X > 0, (因
为 B 正定 ) ,所以 A 正定 。
(8) A 是正定矩阵的充要条件是 :存在非退化
的上 (下 )三角矩阵 Q ,使 A =QTQ。
证明 不妨以下三角矩阵为例来证明 ,上三角
矩阵的情况同理可证 。
必要性 若 A = ( aij ) n是 A 阶正定矩阵 ,则 A 的任意 k阶主子式大于零. 特别的 ,有 am > 0. 将 A 的第 n列乘适当的倍数 ,分别加到第 1, 2……n - 1 列上, 再施同样的行变化, 可使 A 变成为
位矩阵 E (证明略 ) 。 3. n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 :存在
满秩阵 C,使 A = CT C成立 。 证明 必要性 :若 A 是正定矩阵 ,则 A 合同于 E. ∴存在实可逆矩阵 C,使 A = CT EC = CT C 充分性 : 若 A = CT C, C 是实可逆矩阵 ,对 Π X
A1
0 的形式. 即 : 存在非退化的下三角矩阵
0 ann
T1 ,使
T1TA T1 = ,
A1 0
0 ,
ann
再令 T2 = diag (1, 1, …, 1, 1 ) , ann
∴T2T T1TA T1 T2 = A1
0 ,
01
∵A 正定 ∴A1 作为 A 的 n - 1 阶顺序主子 式 ,也是正定的.
x1 2 x2 2 + … + xn 2 y1 2 y2 2 + … + yn 2 ,
α 11
>0
┆
( en ) TA en
>
0
,即
α nn
>0
4 正定矩阵与柯西不等式
如果有一个正定的矩阵 ,我们通常可以设计出
一个柯西不等式. 进而我们就有必要知道正定矩阵
与柯西不等式的关系 。
( 1 )柯西不等式
在中学里 ,我们就熟悉了如下的一个不等式 :
│ x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn │ ≤
2
α
= UTU (U 为正交矩阵 ) ,显
3
α 4
然 A 是正定矩阵 。
3 关于实对称正定矩阵的一些重要结论
对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条
件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外 ,还有很多
重要结论 ,下面给出 。 ( 1)若 A 是正定矩阵 ,则 A3 也是正定的 (其中
A3 表示 A 的伴随矩阵 ) 。 证明 ∵A 正定 , ∴A - 1正定 ; ∵A3 = │A │
∴A - 1 = (CT C) - 1 = C - 1 ( C - 1 ) T , ∵C 可逆 , ∴
·32·
C - 1也是实可逆矩阵 。
∴有 A - 1也是正定矩阵 。 充分性 若 A - 1 是 正 定 矩 阵 , 则 A - 1 = C - 1 (C - 1 ) T = (CT C) - 1 。
(7) n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 :存 在对称正定阵 B ,使 A =B2。
证明 必要性 :存在正交阵 Q ,使
A =Q ∧QT =Q Λ ΛQT = Q ΛQTQ ΛQT = B2
其中 记 B = Q
ΛQT 以及
Λ = diag (

λ 1
,
λ 2
,
…,
λ n
).
(λi ( i = 1, 2, … n ) 为 A 的 特 征
≠0, CX≠0,则 ATAX = XT CT CX = (CX) T (CX) > 0, 所以 , A 是正定的 。 (4) n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 : n