材料力学题目及答案Revised on November 25, 2020习题3-1图(a)习题3-2图(a)习题3-3图 习题3-4图 第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析3－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。
试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。
解：图（a ）中，54cos =θ （1）截面法受力图（a ）0=∑D M ，03)515(4=⨯+-⨯CE F （2） F CE = 15 kN0=∑x F ，40cos =θDE F （3） （1）代入（3），得F DE = 50 kN∴ 1505.002.010153=⨯⨯==A F CE CE σMPa 50==AFDE DE σMPa3－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。
已知杆的横截面面积A = ×10-4m 2，l = 4m 。
试求：1．A 、B 、E 截面上的正应力；2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
解：由已知，用截面法求得 F N A = 40 kN F N B = 20 kN F N E = 30 kN（1）200100.2104043N =⨯⨯==-A F A A σMPa 100N ==A FB B σMPa150N ==AFE E σMPa（2）200max ==A σσMPa （A 截面）3－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。
试： 1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。
试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。
解：1．变形谐调：a a Na c c Nc A E F A E F = （1）P Na Nc F F F =+（2）∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==-⋅+⋅=+==4)(π4π)(4π4π22a 2c P a a Na a 22a 2c P a a c c P c c Nc cd D E d E F E A F d D E d E F E A E A E F E A F c σσ2． 5.83)025.006.0(π1070025.0π10105101711010542292939c =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=σMPa6.55105705.83c a c a =⨯==E E σσMPa 3－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。
试：1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。
求铝板与钢板横截面上的最大正应力。
解：变形谐调：aa Na s s Ns A E F A E F = （1）习题3-5图 习题3-6图习题3-7图习题3-8图 (a)P Na Ns F F F =+ （2）1． a1s 0Ps 1a 0s P s s Ns s 22hE b hE b F E h b E h b E F E A F +=⋅+=-=σ 2． 175107005.002.021020005.003.01038502009939s -=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=σMPa （压）25.6120070175175s a a -=-=-=E E σMPa （压） 3－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。
试求下列两种情形下h 与b 的比值：1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。
解：1．)(66222b d b M bh M W M zz z z -===σ ∴2=bh（正应力尽可能小） 2．zz z EI M =ρ10d d =h I z ，得2243d h = ∴ 3=bh（曲率半径尽可能大）3－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。
梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。
设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求：1．k 值与h 值之间的关系；2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。
解：3400h I zh =，3300h W z = )34()34(3)34(3023002300230max h h h h h h h h h h h h k -=-=-==σσ （1）0)338(0=-h h h ，h = 0（舍去），098h h =代入（1）：9492.0)812(64381)384()98(1)9834()98(200203=-⨯⨯=-=⨯-=h h h h k3－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受M z = 20 kN ·m 一个内力分量，I z = ×106mm 4，其他尺寸如图所示。
试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。
解：⎰⎰⎰-+-==21 2N d d d A z z A z z A x x A y I MA y I M A F σ 143101433-=⨯-=kN即上半部分布力系合力大小为143 kN （压力），作用位置离中心轴y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交界处。
3－8 图示矩形截面（b ·h ）直梁，在弯矩M z 作用的Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y 方向正应力y σ存在，且沿梁长均匀分布。
试： 1．导出)(y y y σσ=的表达式； 2．证明：max max 4x y hσρσ-≈，ρ为中性面的曲率半径。
解：1．先求)(y y σ表达式：⎰⎰--=⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=∑yh x y y y y F 2220d 12sin2cos d 1θσϕϕρσθθ习题3-9图习题3-10图 (a) h t即 0d 2sin 22sin22=-+⎰-y y I M yh z z y y θθρσ，（y I M z z x -=σ）即 0)4(212sin 22sin 222=-⋅-h y I M z z y y θθρσ∴ )4(222y h I M z y z y --=ρσ（a ）2．由（a ）式，令0d d =yy σ，得y = 0，则max 2max ,44248x z z y z z y z y z y hW M h h I M h I M h σρρρρσ-≈⋅-=⋅-=-= （b ）3－9 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶M z 作用下发生平面弯曲，试： 1．导出管横截面上正应力与M z 、D 1、D 2、D 3和钢的E s 、铝的E a 之间的关系式；2．已知D 1 = 20mm ，D 2 = 36mm ，D 3 = 44mm ；M z = 800N ·m ；E s = 210GPa ，E a = 70GPa 。
求钢管和铝和铝管横截面上的最大正应力max σ。
解：静力平衡： z M M M =+s a （1）变形谐调：s a ρρ=得ss sa a a I E M I E M =（2） 64)(π4243a D D I -=，64)(π4142s D D I -=（3） 由（2）s ss a a a M I E IE M =（4）代入（1），得 z M M I E I E =+s ss aa )1( aa s s s s s I E I E M I E M z+=（5） ∴ z M I E I E I E M aa s s aa a +=（6）1． )]()([ π644243a 4142s s a a s s s s s s D D E D D E yM E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=σ，（2221D y D ≤≤） )]()([ π644243a 4142s a a a s s a a a a D D E D D E yM E y I E I E M E y I M z z -+--=+-=-=σ，（2232D y D ≤≤） 2． 13310)]3644(70)2036(210[π1018800210641244443maxs =⨯-⨯+-⨯⨯⨯⨯⨯=--σMPa 1.5410)]3644(70)2036(210[π102280070641244443max a =⨯-⨯+-⨯⨯⨯⨯⨯=--σMPa3－10 由塑料制成的直梁，在横截面上只有M z 作用，如图所示。
已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为E t 和E c ，且已知E c = 2E t ；M z = 600N ·m 。
试求： 1．梁内最大拉、压正应力； 2．中性轴的位置。
解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 ∵ E c = 2E t ，εσE =∴ σ沿截面高度直线的斜率不同 ∴中性轴不过截面形心。
1．确定中性轴位置。
设拉压区高度分别为h t 、h c由0=∑x F ，得：02121t max t c max c =⋅⋅+⋅⋅-b h b h σσ即 ccc t max t max c h h h h h -==σσ （1）习题3-11图 习题3-12图 又∵tc max t max c max t t max c c max t max c 22h hE E ===εεεεσσ （2）由（1）、（2），得cc t c c c 22h h h h h h h h -==- 即 2c 2c 2)(h h h =- ⎪⎭⎪⎬⎫=-=∴=-=∴mm 6.58)22(mm 4.41)12(t c h h h h （中性轴的位置）2．⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=+=+=ctctctd 2d d d d d c t t t c c t t c t A A A A A A z A E y A yE A yE A yE A y A y M εεεεσσ其中)246(3323233c 3t c t -=⨯+=+bh bh bh I I ∴ )2(1c t t I I E M z +=ρ∴ c ct c c t t c c cmax c 222h I I M h I I M E E h E zz +=+==ρσ69.810)246(310050104.4160021233=⨯-⨯⨯⨯⨯=--MPa （压）∴ 15.6)246(1031005010100)22(60021233t c t t tmax t =-⨯⨯⨯⨯-⨯=+==--h I I M h E z ρσMPa （拉） 3－11 试求图a 、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。