H (e j )
1 1 j Ha Ha j T T T
Ha(j)

T-1
h (n ) Tha (nT ) H (z )
i 1 N

1 s i z 1
sT Ha j T j 2 T
TAi
H (e )
s1,2 = −0.18 ± j 0.70;
, k = 1, 2,L , N
s3,4 = −0.50 ± j 0.50;
s5,6 = −0.70 ± j 0.18 K = 0.12 ( H a ( s ) s =0 = 1)
K ; 2 2 2 ( s + 0.36 s + 0.49)( s + 0.99 s + 0.49)( s + 1.36 s + 0.49)
2、IIR数字低通滤波器 的频率变换（高通、带 通、带阻数字滤波器的 设计 1、IIR数字低通滤波器 的频域直接设计方法 2、IIR数字低通滤波器 的时域直接设计方法
IIR数字滤波 器设计
二、直接设计IIR数 字滤波器
三、IIR数字滤波器 的优化设计方法
1、最小均方误差方法 2、最小p误差方法 3、最小平方逆设计法 4、线性规划设计方法
√
解：(1)由已知条件列出对模拟 滤波器的衰减要求 20 lg H a ( jΩp ) ≥ −1dB ⇒ 20 lg H a ( jΩs ) ≤ −15dB ω H (e jω ) = H a ( j ) = H a ( jΩ), ω ≤ π T ω = ΩT , T = 1 ωp ω ⇒ Ωp = = 0.2π , Ωs = s = 0.3π , T T 20 lg H a ( j 0.2π ) ≥ −1dB ⇒ 20 lg H a ( j 0.3π ) ≤ −15dB 1 2 A2 ( Ω ) = H a ( j Ω ) = 2N Ω 1+ Ωc
Ω 2 N ⇒ 20 lg H a ( jΩ) = −10 lg 1 + Ω c 0.2π 2 N −10 lg 1 + ≥ −1dB Ω c ⇒ 0.3π 2 N −10 lg 1 + ≤ −15dB Ω c 0.2π 1 + Ωc 取等号 0.3π 1 + Ωc
2、IIR数字低通滤波器 的频率变换（高通、带 通、带阻数字滤波器的 设计 1、IIR数字低通滤波器 的频域直接设计方法 2、IIR数字低通滤波器 的时域直接设计方法
IIR数字滤波 器设计
二、直接设计IIR数 字滤波器
三、IIR数字滤波器 的优化设计方法
1、最小均方误差方法 2、最小p误差方法 3、最小平方逆设计法 4、线性规划设计方法
脉冲响应不变法--变换原理
ha(t) Ha()
t h(n)=ha(nT)
W H(T)--H(ejw)

n h1(n)=ha(nT1)
…
W 2/T
…
H1(T1) --H(ejw1)

n
…
W 2/T1
…

Time domain
Frequency domain
脉冲响应不变法--变换原理
ha(t) ) ha (t ) ha (t ) h(n ) H (z ) ˆ (s ) H a (s ) H a
sit i 1
n
s si
Ai
并联，部分分式
N N siTn i 1
u(nT )
z
1
H (z )
Ai lim
i 1
n N
h(n )z


N i 1 sT | z ||e i | N
1 (e z ) 1 e i z 1 Ai
sT siT
n i 1 siT 1 N
数字信号处理
周治国
2016.11
第五章 数字滤波器
IIR数字滤波器 脉冲响应不变变换法
1、从模拟低通滤波器 设计数字低通滤波器 一、从模拟滤波器 设计数字滤波器
（1）脉冲/阶跃响应不 变法 （2）双线性变换法 （1）直接由模拟原型 到各种类型数字滤波器 的转换 （2）从数字低通滤波 器到各种类型数字滤 波器的转换 （1）零、极点位置累 试法（点阻滤波器） （2）幅度平方函数法 （1）帕德逼近法 （2）波形形成滤波器 设计

H (z )
?
n
h(n )z

n
) ha (t )
) ) t H h (t ) s L ( ) a a ) H (z ) H a (s ) ) 1 H a (s ) T
n
h (nT )e
a
sTn
h(n)=ha(nT)
2 Ha sj m H a (s ) T m n 1 2 j H (e ) H (z ) |z e j j j m Ha H T T m a T T T 1 1 H (e j ) H a j H j T T a T n
03A(05-06)
提示： (1)所有小数均计算到小数点后两位 (2)假设取样间隔T = 1 (3)双线性变换的频率变换关系为： Ω = 2 Ttg (ω 2) (4)模拟巴特沃斯低通滤波器H a ( s )的极点为： sk = Ωc e jπ [1 2+ (2 k −1)/(2 N )] , k = 1, 2,L , N (4)模拟巴特沃斯低通滤波器平方函数为： A2 (Ω) = 1 [1 + (Ω Ωc ) 2 N ]
⇒ H ( z) =
IIR滤波器设计2--往年真题
如果所要设计的数字低通滤波器满足下列条件： (a)在ω ≤ π / 8的通带范围内幅度变化不大于3dB， (b)在π / 2 ≤ ω ≤ π 的阻带范围内幅度衰减不小于20dB， 试用脉冲响应不变变换法，设计相应的数字巴特沃斯 低通滤波器， (1)确定滤波器的阶数N (2)确定滤波器的系统函数H ( z ) (3)确定滤波器的频率响应H (e jω ) (4)给出滤波器的直接I型结构实现形式
模拟原型滤波器数字化设计方法
原理（Principle） 首先按一定指标设计出满足要求的模拟原型滤波器，再将 其通过某种方式数字化 转换方法（Conversion methods） — 将微分方程转换为差分方程 — 脉冲响应不变变换法 — 双线性变换法 — 匹配Z变换 要求（Requirement） ① s-平面的左半平面应映射至z-平面的单位圆内，即系统 稳定性要在转换中能够保持； ② 保形要求（频率选择能力）
1、从模拟低通滤波器 设计数字低通滤波器 一、从模拟滤波器 设计数字滤波器
（1）脉冲/阶跃响应不 变法 （2）双线性变换法 （1）直接由模拟原型 到各种类型数字滤波器 的转换 （2）从数字低通滤波 器到各种类型数字滤 波器的转换 （1）零、极点位置累 试法（点阻滤波器） （2）幅度平方函数法 （1）帕德逼近法 （2）波形形成滤波器 设计
Ω 2 N ⇒ 20 lg H a ( jΩ) = −10 lg 1 + Ω c π / 8 2 N −10 lg 1 + ≥ −3dB Ω c ⇒ 2N π /2 −10 lg 1 + ≤ −20dB Ω c π / 8 2 N 0.3 1 + = 10 (a ) Ωc 取等号 2N π / 2 2 1 + = 10 (b) Ωc Ωc = π / 8 = 0.39 解出：N = 1.66，取N = 2
或直接由表5-1 Ωc 6 H a (s) = 6 s + 3.863Ωc s 5 + 7.464Ωc 2 s 4 + 9.141Ωc 3 s 3 + 7.464Ωc 4 s 2 + 3.863Ωc 5 s + Ωc 6 展成部分分式 A B C D H a (s) = + + + s − (−0.18 + j 0.70) s − ( −0.18 − j 0.70) s − ( −0.50 + j 0.50) s − ( −0.50 − j 0.50) E F + + s − ( − 0.70 + j 0.18) s − ( − 0.70 − j 0.18) 解得： A =; B =; C =; D =; E =; F = 由 1 1 z ⇔ = s − si 1 − e siT z −1 z − e siT
2N
= 100.1 (a )
2N
1.5 = 10 (b) 解出：N = 5.89，Ωc = 0.7047取N = 6
代入( a), Ωc = 0.7032 代入(b), Ωc = 0.7080
(2)由巴特沃斯滤波器极点公式得到 sk = Ωc e H a (s) =
1 2 k −1 jπ [ + ] 2 2N
A (e
i

N
siT n
) z u(n )
n
A e
N i 1 i n 0
siT

n
1e
Ai
z 1
此处把课本（5-23）和 （5-43）（5-46）统一起来 Ai Ai z
s si

1 e z
siT
1
z e i
sT
优缺点
1、增益过高（T-1）
H(ejω)