§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。

我们称之为“点点通过”。

但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。

在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。

针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。

后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。

一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。

在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。

第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。

1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。

)()()()()(3,333,223,113,00t B p t B p t B p t B p t p +++=其中：3230303,0331)1()1()!03(!0!3t t t t t t B -+-=-=-⋅⋅-=-3221313,1363)1(3)1()!13(!1!3t t t t t t t B +-=-=-⋅⋅-=-32122323,233)1(3)1()!23(!2!3t t t t t t B -=-=-⋅⋅-=-33333,3)1()!33(!3!3t t t B =-⋅⋅-=-33232132032)33()363()331()(p t p t t p t t t p t t t t p +-++-+-+-=[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=32102300010033036313311)(p p p p t t t t p 10≤≤t 贝塞尔曲线特点：1.n 个顶点定义n-1次曲线，当顶点数较大时，拟合的曲线阶次太高。

2.任一顶点对整条曲线的形状都有关系，不利于局部修改。

二、B 样条曲线用B 样条曲线基函数替代伯恩斯坦基函数。

1.数学表达式通常，给定m+n+1个顶点),,1,0(n m i p i +=K 可以定义m+1段n 次参数函数为：)()(0,,t F p t p nk n k k i n i ∑=+= （10≤≤t ），),,1,0(m i K =其中)(,t F n k 为B 样条分段混合函数，形式为：)()1(!1)(01,j k n t C n t F kn j j n j n k --+-=∑-=+• 段数、次数 段数=节点数-次数，每段曲线与n+1个点有关；• )!(!!n m n m C n m-=2.二次B 样条曲线 n=2,k=0,1,2n i n i n i i F p F p F p t p ,22,11,0)(++++=∑-=--+-=02023,0)02()1(!21j j j nj t C F 2222120)1(21)!23(!2!3)1()1()!13(!1!3)1()2()!03(!0!3)1[(21-=--++--++--=t t t t∑-=--+-=120232,1)12()1(21j j j j t C F )122(21])11()!13(!1!3)1()1()!03(!0!3)1[(2122120++-=-+--++--=t t t t22000232,221)!13(!1!3)1(21)22()1(21t t j t C F j j j =--=--+-=∑= 2212221)122(21)1(21)(+++++-+-=i i i i p t p t t p t t p 21)12()1()(++++-+-='i i i i tp p t p t t p)(21)0(1++=i i p p p )(21)1(21+++=i i p p pi i p p p -='+1)0(12)1(++-='iippp})]1()0([21{21)21(1+++=ipppp)0()1()21(ppp-='3.三次B样条曲线n=3, k=0, 1, 2, 333,323,213,13,033,)()(BFBFBFBFtFptpkkkii+++==∑=+其中∑-=+--+-=knjnjnjkjkntCF13,)()1(!31，)3,2,1,0(=lBl称为特征多边形。

∑=-+-=3343,0)3()1(!31jjj jtCF3332313)!34(!3!4)1()1()!24(!2!4)1()2()!14(!1!4)1()3()!4(!0!4)1[(61tttt--++--++--++--=)133(6123+-+-=ttt∑=--+-=2343,1)13()1(!31jjj jtCF)463(61)!24(!2!4)1()1()!14(!1!4)1()2()!4(!0!4)1[(612332313+-=--++--++--=ttttt∑=--+-=1343,2)23()1(!31jjj jtCF。