m 0 r 0
R s( 0 s) 2 h o( m p) R tx( m s) h o( m p) th o( r p ) R tx( m x r )
m 0
m 0
r 0
R x(sj) h o( p m t)R x(xj m ) j 0 m 0
E [e 2(n )m ] in R s(s 0 ) h o( p m t)R x(s m ) m 0
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2 E ( s ( n ) m N 0 1 h o( p m ) x t( n m ) ) x ( n j) 0j 0 ,1 ,2 N 1
N 1
E s (n )x (n j) h o(m p )E tx (n m )x (n j) j 0 ,1 , N 1 m 0 N 1 R x(s j)h o( p m ) tR x(x j m ) j 0 ,1 ,2 , ,N 1 m 0
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（图）维纳在讲解控制论。根据这一理
论，一个机械系统完全能进行运算和记忆 。
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第一节 维纳滤波器的时域解 第二节维纳预测器
第三节维纳滤波器的应用
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• 设有一个线性系统，它的单位脉冲响应 是 h(n) ，当输入一个观测到的随机信 号 x(n) ，简称观测值，且该信号包含噪
声 w(n)和有用信号 s(n)，简称信号，也
h(n) x(n)s(n)w (n)
y(n)sˆ(n)
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• 用当前的和过去的观测值来估计当前的 信号y(n)sˆ(n)称为滤波；
• 用过去的观测值来估计当前的或将来的 信号 y(n)sˆ(nN) N>=0 ，称为预测；
• 用过去的观测值来估计过去的信 号y(n)sˆ(nN)，N>=1 ，称为平滑或 者内插。
• 我们从时域入手求最小均方误差下的 h(n) 用 hopt (n) 表示最佳线性滤波器。这里只 讨论因果可实现滤波器的设计。
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５.１.１ 因果的维纳滤波器
设 h(n) 是物理可实现的，也即是因果序 列：
h(n)0,当n0
因此，从式(5-1)、(5-2)、(5-3)、(5-4)推导：
(5-5)
y(n)sˆ(n)h(m)x(nm)
E e 2 ( n ) E ( s ( n ) s ˆ ( n ) 2)(5-4)
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５.１ 维纳滤波器的时域解 （Time domain solution of the Wiener filter）
• 设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小 均方误差下滤波器的单位脉冲响应 h(n) 或传递函数 H (z)的表达式，其实质就是 解维纳－霍夫（Wiener－Hopf）方程。
即
x(n)s(n)w (n)
则输出为
y(n)x(n)h(n) h(m )x(nm ) m
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• 我们希望输出得到的 y(n)与有用信号s(n)
尽量接近，因此称 y(n)为 s(n)的估计值，
用 来sˆ(表n)示 ，y(我n)们就有了维纳滤
波器的系统框图 ．这个系统的单位脉冲
响应也称为对于 的s(m )x(nm ))2 (5-6)
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E e 2 (n ) E (s (n ) h (m )x (n m ))2
m 0
• 要使得均方误差最小，则将上式对各 h(m) m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：
2 E (s (n ) h o( p m ) tx (n m ))x (n j) 0 j 0 ,1 ,2
m 0
E s (n )x (n j) h o(p m )tE x (n m )x (n j) j 0 m 0 R x(sj) hop (m t)R x(xjm ) j0 m 0
从维纳－霍夫方程中解出的h就是最小均 方误差下的最佳h，hopt (n) 。
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• 求到 hopt (n) ，这时的均方误差为最小：
第五章 维纳滤波
（Wiener Filtering）
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•维纳于1894年生在美国密苏里州哥伦比亚市的一个犹太人的 家庭中。他的父亲是哈佛大学的语言教授。维纳18岁时就获 得了哈佛大学数学和哲学两个博士学位，随后他因提出了著 名的“控制论”而闻名于世。 •1940年，维纳开始考虑计算机如何能像大脑一样工作。他发 现了二者的相似性。维纳认为计算机是一个进行信息处理和 信息转换的系统，只要这个系统能得到数据，机器本身就应 该能做几乎任何事情。而且计算机本身并不一定要用齿轮， 导线，轴，电机等部件制成。麻省理工学院的一位教授为了 证实维纳的这个观点，甚至用石块和卫生纸卷制造过一台简 单的能运行的计算机。 •维纳在1940年写给布什的一封信中，对现代计算机的设计曾 提出了几条原则：（1）不是模拟式，而是数字式；（2）由 电子元件构成，尽量减少机械部件；（3）采用二进制，而不 是十进制；（4）内部存放计算表；（5）在计算机内部存贮 数据。这些原则是十分正确的。
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５.１.２有限脉冲响应法求解 维纳－霍夫方程
• 设 h(n)是一个因果序列且可以用有限长
（N点长）的序列去逼进它，则式(5-5) －(5-10)分别发生变化：
N1
y(n)sˆ(n)h(m)x(nm) (5-11) m0
Ee2(n)E (s(n)m N 0 1h(m )x(nm ))2 (5-12)
E e2(n )m inE (s(n ) h op (m t)x(n m ))2
m 0
E [ s 2 ( n ) 2 s ( n )h ( m ) x ( n m ) h o( m p ) x ( t n m ) h o( r p ) x ( n t r ) ]
m 0
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h(n) x(n)s(n)w (n)
y(n)sˆ(n)
• 系统框图中估计到的 sˆ(n) 信号和我们期望得到
的有用信号s(n) 不可能完全相同，这里用 e(n)
来表示真值和估计值之间的误差
e(n)s(n)sˆ(n)
(5-3)
• 显然 e(n) 是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波 的误差准则就是最小均方误差准则