备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题14 图形变换和类比探究类几何压轴综合问题【类型综述】本节内容每年中考都会选择一种变换作为压轴题的背景素材,可以对函数图象进行平移,可以对几何图形进行平移、旋转,考查学生的数学综合应用能力．在选择、填空中也会涉及变换的概念和简单应用．只要抓住全等变换的特点,找到变与不变的量就可以解决问题．预计在2019年中考中仍会在压轴部分渗透变换,但是会有新情境的渗透．【方法揭秘】1.平移的性质(1)平移前后,对应线段平行、对应角相等；(2)各对应点所连接的线段平行（或在同一直线上）或相等；(3)平移前后的图形全等,注意：平移不改变图形的形状和大小.2.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.3.中心对称的性质：在成中心对称的两个图形中,对应点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分_．成中心对称的两个图形全等.【典例分析】【例1】操作与证明：如图1,把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起,使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合,点E、F分别在正方形的边CB、CD上,连接AF．取AF中点M,EF的中点N,连接MD、MN．（1）连接AE,求证：△AEF是等腰三角形；猜想与发现：（2）在（1）的条件下,请判断MD、MN的数量关系和位置关系,得出结论．结论1：DM、MN的数量关系是；结论2：DM、MN的位置关系是；拓展与探究：（3）如图2,将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°,其他条件不变,则（2）中的两个结论还成立吗？若成立,请加以证明；若不成立,请说明理由．【例2】已知：如图1,OM是∠AOB的平分线,点C在OM上,OC＝5,且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D、E,易得到结论：OD+OE等于多少；（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA不垂直时（如图2）,上述结论是否成立？并说明理由；（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转,当CD与OA的反向延长线相交于点D时：①请在图3中画出图形；②上述结论还成立吗？若成立,请给出证明；若不成立,请直接写出线段OD、OE之间的数量关系,不需证明．【例3】两个三角板ABC,DEF按如图所示的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C＝∠DEF＝90°,∠ABC＝∠F＝30°,AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时,x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N,直接写出在三角板平移过程中,点M与点N之间距离的最小值．【例4】在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点M是线段BC的中点,点N在射线MB上,连接AN,平移△ABN,使点N移动到点M,得到△DEM（点D与点A对应,点E与点B对应）,DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点,如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上,射线DM与射线AB交于点Q,若MQ=DP,求CE的长．【例5】如图1,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A,B,与y轴交于C,抛物线的顶点为D,直线l过C交x轴于E（4,0）．（1）写出D的坐标和直线l的解析式；（2）P（x,y）是线段BD上的动点（不与B,D重合）,PF⊥x轴于F,设四边形OFPC的面积为S,求S与x 之间的函数关系式,并求S的最大值；（3）点Q在x轴的正半轴上运动,过Q作y轴的平行线,交直线l于M,交抛物线于N,连接CN,将△CMN沿CN翻转,M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q,使得M′恰好落在y轴上？若存在,请求出Q的坐标；若不存在,请说明理由．【例6】再读教材:宽与长的比是5-1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步,如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处,第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形,问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【变式训练】一、单选题1．如图,正方形ABCD 中,6AB =,E 为AB 的中点,将ADE ∆沿DE 翻折得到FDE ∆,延长EF 交BC 于G ,FH BC ⊥,垂足为H ,连接BF 、DG .结论:①BF DE P ；②DFG ∆≌DCG ∆；③FHB ∆∽EAD ∆；④43GEB ∠=；⑤ 2.6BFG S ∆=.其中的正确的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图所示,点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线BD 上的动点,过点P 分别作PE ⊥BC 于点E,PF ⊥DC 于点F,连接AP 并延长,交射线BC 于点H,交射线DC 于点M,连接EF 交AH 于点G ,当点P 在BD 上运动时（不包括B 、D 两点）,以下结论中：①MF ＝MC ；②AP ＝EF ；③AH ⊥EF ；④AP 2＝PM•PH ；⑤EF 的最小值是2．其中正确结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 的坐标为()1,0-,点B 的坐标为()0,2,点A 在第二象限,直线1y x 52=-+与x 轴、y 轴分别交于点N 、M ．将菱形ABCD 沿x 轴向右平移m 个单位,当点A 落在MN 上时,则m 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图,在平面直角坐标系中,A （1,2）,B （3,2）,连接AB ,点P 是x 轴上的一个动点,连接AP 、BP ,当△ABP 的周长最小时,对应的点P 的坐标和△ABP 的最小周长分别为（ ）A ．(10)224+，，B ．(30)224+，，C ．(20)25，，D ．(20)252+，，5．如图,将小正方形AEFG 绕大正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°）,连接BG 、DE 相交于点O ,再连接AO 、BE 、DG ．王凯同学在探究该图形的变化时,提出了四个结论： ①BG ＝DE ；②BG ⊥DE ；③∠DOA ＝∠GOA ；④S △ADG ＝S △ABE ,其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图,点P 是等边三角形外一点,把BP 绕点B 顺时针旋转60°到BP ',已知AP B '∠=150°,:2:3P A P C ''=,则:PB P A '的值是（ ）A ．2 : 1B ．2 : 1C ．5 : 2D ．3 : 1二、填空题7．如图,在菱形ABCD 中,AB ＝2,∠BAD ＝60°,将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转,对应得到菱形AEFG,点E 在AC 上,EF 与CD 交于点P,则DP 的长是________.8．如图,在平面直角坐标系中,直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ,B 两点,点C 在x 正半轴上,且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点,将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ,连接CQ ,则线段CQ 的最小值为___________．9．如图,直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,10AB =,6BC =,在线段AB 上取一点D ,作DF AB ⊥交AC 于点F ,现将ADF ∆沿DF 折叠,使点A 落在线段DB 上,对应点记为1A ；AD 的中点E 的对应点记为1E .若111E FA E BF ∆∆:,则AD =______.10．如图,四边形ABCD 是矩形,AD ＝5,AB ＝163,点E 在CD 边上,DE ＝2,连接BE ,F 是BE 边上的一点,过点F 作FG ⊥AB 于G ,连接DG ,将△ADG 沿DG 翻折的△PDG ,设EF ＝x ,当P 落在△EBC 内部时（包括边界）,x 的取值范围是__．11．如图,将函数3(0)y x x=>的图象沿y 轴向下平移3个单位后交x 轴于点C ,若点D 是平移后函数图象上一点,且BCD ∆的面积是3,已知点(2,0)B -,则点D 的坐标__________.12．如图,有一条折线11223344A B A B A B A B ⋯,它是由过()10,0A ,()12,2B ,()24,0A 组成的折线依次平移4,8,12,⋯个单位得到的,直线2y kx =+与此折线恰有2(1n n ≥,且为整数)个交点,则k 的值为______．三、解答题13．如图,直线：y ＝﹣3x +4与x 轴、y 轴分别別交于点M 、点N ,等边△ABC 的高为3,边BC 在x 轴上,将△ABC 沿着x 轴的正方向平移,在平移过程中,得到△A 1B 1C 1,当点B 1与原点O 重合时,解答下列问题：（1）点A 1的坐标为 ．（2）求△A 1B 1C 1的边A 1C 1所在直线的解析式；（3）若以P 、A 1、C 1、M 为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出P 点坐标．14．如图1,在△ABC 中,AB=BC=5,AC=6,△ABC 沿BC 方向向右平移得△DCE,A 、C 对应点分别是D 、E.AC 与BD 相交于点O.（1）将射线BD 绕B 点顺时针旋转,且与DC,DE 分别相交于F,G,CH ∥BG 交DE 于H,当DF=CF 时,求DG 的长；（2）如图2,将直线BD 绕点O 逆时针旋转,与线段AD,BC 分别相交于点Q,P.设OQ=x,四边形ABPQ 的周长为y,求y 与x 之间的函数关系式,并求y 的最小值.（3）在（2）中PQ 的旋转过程中,△AOQ 是否构成等腰三角形？若能构成等腰三角形,求出此时PQ 的长？若不能,请说明理由.15．在平面直角坐标系中,O 为原点,点A （6,0）,点B 在y 轴的正半轴上,ABO 30∠︒=．矩形CODE 的顶点D,E,C 分别在OA,AB,OB 上,OD=2.．（Ⅰ）如图①,求点E 的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE 沿x 轴向右平移,得到矩形C O D E '''',点C,O,D,E 的对应点分别为C O D E ，，，''''．设OO t '=,矩形C O D E ''''与ΔABO 重叠部分的面积为S ．①如图②,当矩形C O D E ''''与ΔABO 重叠部分为五边形时,C E '',E D ''分别与AB 相交于点M,F,试用含有t 的式子表示S,并直接写出t 的取值范围；3S 53剟,求t 的取值范围（直接写出结果即可）．16．如图,将矩形OABC放在平面直角坐标系中,O为原点,点A在x轴的正半轴上,B（8,6）,点D是射线AO 上的一点,把△BAD沿直线BD折叠,点A的对应点为A′．（1）若点A′落在矩形的对角线OB上时,OA′的长=；（2）若点A′落在边AB的垂直平分线上时,求点D的坐标；（3）若点A′落在边AO的垂直平分线上时,求点D的坐标（直接写出结果即可）．17．在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,BC=23,D是AB的中点,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点,将△EDC沿CD翻折得到△E′DC,射线DE′交直线BM于点F．（1）如图1,当点E′与点F重合时,求证：四边形ABE′C为平行四边形；（2）如图2,延长ED交线段BF于点G．①设BG=x,GF=y,求y与x的函数关系式；②若△DFG的面积为33,求AE的长．18．如图①,若直线l︰y=－2x+4交x轴于点A、交y轴于点B,将△AOB绕点O逆时针旋转90o得到△COD．过点A,B,D的抛物线h︰y=ax2+bx+4．（1）求抛物线h的表达式；（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移,交线段CD于点M、交抛物线h 于点N,求线段MN的最大值；（3）如图②,点E为抛物线h的顶点,点P是抛物线h在第二象限的上一动点（不与点D、B重合）,连接PE,以PE 为边作图示一侧的正方形PEFG ．随着点P 的运动,正方形的大小、位置也随之改变,当顶点F 或G 恰好落在y 轴上时,直接写出对应的点P 的坐标．19．已知,正方形ABCD 的边长为4,点E 是对角线BD 延长线上一点,AE=BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′,点B 、E 的对应点分别为B′、E′．（1）如图1,当α=30°时,求证：B′C=DE ；（2）连接B′E 、DE′,当B′E=DE′时,请用图2求α的值；（3）如图3,点P 为AB 的中点,点Q 为线段B′E′上任意一点,试探究,在此旋转过程中,线段PQ 长度的取值范围为 ．20．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,已知4AC =,25AB =（1）求BD 的长；（2）点E 为直线AD 上的一个动点,连接CE ,将线段EC 绕点C 顺时针旋转BCD ∠的角度后得到对应的线段CF （即)ECF BCD ∠=∠,EF 交CD 于点P ．①当CE AD ⊥时,求EF 的长；②连接AF 、DF ,当DF 的长度最小时,求ACF ∆的面积．21．如图1,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,D,E两点分别在AC,BC上,且DE∥AB,将△CDE绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时,ADBE的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时,若△EDC旋转到如图2的情况时,求出ADBE的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A,B,E三点共线时,若设CE＝5,AC＝4,直接写出线段BE的长．22．如图1,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝6；点E是对角线BD上一动点,连接CE,作EF⊥CE交AB边于点F,以CE和EF为邻边作矩形CEFG,作其对角线相交于点H．（1）如图2,当点F与点B重合时,求CE和CG的长；（2）如图3,当点E是BD中点时,求CE和CG的长；（3）在图1,连接BG,当矩形CEFG随着点E的运动而变化时,猜想△EBG的形状？并加以证明．。