《一元二次不等式的应用（1）》教学设计
高二数学备课组 何 泽 2009/11/1
课 题：一元二次不等式的应用（1）
教学目标：
（1） 知识与技能：能够把分式不等式转化为一元二次不等式求解，掌握“穿针引线
法”求解分式不等式和简单的高次不等式。

（2） 过程与方法：通过尝试与归纳得出基本方法，并熟练应用。

（3） 态度、情感、价值观：体会数学知识的联系，感受划归思想。

教学重点：求解分式不等式和简单的高次不等式
教学难点：在不等式转化过程中如何保证等价性
教学过程：
一、 引入课题
1、小练习：解不等式
①
（x+1）(2x-1)<0 ②（x-2）(1-x)<0 ③
≤（2x+1）(x+2)0 ④≥（1-2x ）(1+x)0 （学生练习完成，老师点评。

师生共同复习“三个一元二次”的关系）
2、思考：解不等式 ①
x+1<02x-1 ②x-2<01-x
③≤2x+10x+2 ④≥1-2x 01+x 二、新课
1、对于练习题2中这样的分式不等式，我们可以考虑等价变形去掉分母，
思路（1）：
对分母分正负情况讨论，去分母，注意不等式是否改变方向；（略）
思路（2）：
可以利用不等式的性质给不等式左右同时乘以分母的完全平方。

①可化为
（x+1）(2x-1)<0②可化为（x-2）(1-x)<0 ③可化为
≤（2x+1）(x+2)0且2x ≠-④可化为≥（1-2x ）(1+x)0且1x ≠- 试着与练习1中的不等式比较，解略
概括：原来将这些不等式去掉分母，我们就相当熟悉了！尤其是第二种方法更简单，不过不等式含等号的时候要特别注意等价性啊！
2、上面练习题中的2组不等式，有个共同特点那就是不等式的右边为0，左边可以分解因式。

下面的不等式也具有这样的特点，又该如何解决？
例题1 解不等式：(1)(2)(3)0x x x --->
析：这是个一元三次不等式，我们也可以利用函数来解决。

设
()(1)(2)(3)f x x x x =---
（1）显然函数()f x 的图像与x 轴的交点有3个，坐标分别为（1，0）（2，0）（3，0）；
（2）函数()f x 的图像把x 轴分成了四个不相交的区间，它们依次为
1-∞∞（，），（1，2），（2，3），（3，+）
（3）当x>3时，()0f x >，函数的图像是一条不间断的曲线，并且()f x 的符号每经过x 轴的一个交点就会发生一次变化，由此如图：
变化规律就很明显，从右到左每个区间的符号正负相间。

通过分析，不等式(1)(2)(3)0x x x --->的解集为∞ （1，2）（3，+）
我们把这种求解不等式的方法称为“穿针引线法”。

例2：解不等式
（1）11x
≤ （2）2(2)(4)0x x --<（x-3）（3）x （1-x ）(2+x)>0 过程板演略。

实际上，对于右边为0，左边完全分解因式的不等式一般都可以使用 “穿针引线法”，它的基本步骤和注意事项：
(1)变形（右边为0，左边完全分解因式，未知数的系数要为正）
(2)标根（从左到右依次增大，注意实根和虚根）
(3)穿根（从右上开始，奇次穿透，偶次不穿透）
(4)结论（上正下负，写成集合形式或用区间表示）
3、课堂练习（教材83P -3，4）
4、课堂小结：本节课咱们主要学习了求解分式不等式和简单的高次不等式的方法，特别是 “穿针引线法”的运用，要注意各细节。

5、课后作业（教材87P -7，8）
6、板书设计
课后反思。