相似三角形专讲
【知识要点】
1．对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。

2．相似三角形的判定：
①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

②如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。

③如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

3．相似三角形具有下述性质：
①相似三角形对应角相等、对应边成比例；
②相似三角形对应高、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。

4．熟悉如图中形如“A ”型，“X ”型，“子母型”等相似三角形。

5.射影定理
AC 2=AD ·BD BC 2=BD ·BA
CD 2=AD ·BD
6.位似：如果两个图形不仅相似,而且对应顶点的连线相交于一点,像这样的两个图形叫做 位似图形, 这个点叫做位似中心, 这时的相似比又称为位似比.
【典型例题】
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.如图1，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36º，BD 平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD 相似 三角形是（ ）。

A ．△ABC B ．△DAB C ．△ADE D ．△BDC 2．如图2，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似三角形的对数为（ ）。

A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对
3．如图3，已知在△ABC ，P 为AB 上一点，连结CP ，以下各条件中不能判定△ACP ∽△ABC 的是（ ）。

A ．∠ACP ＝∠
B B ．∠AP
C ＝∠ACB C ．
AC AP ＝AB AC D ． AC AB ＝CP
BC
图1 图2 图3
4．如图4，在正方形网格上，若使△ABC ∽△PBD ，则点P 应在（ ）。

A ．P 1处
B ．P 2处
C ．P 3处
D ．P 4处
5．如图5，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ）。

A ．F
B ．G
C ．H
D ．O
6．如图6，梯形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，若S ΔAOD ：S ΔACD =1：4，则S ΔAOD ：S ΔBOC 的值为（ ）。

A ．1：3 B ．1：4 C ．1：9 D ．1：16
图4 图5 图6
7．在等腰△ABC 和等腰△DEF 中，∠A 与∠D 是顶角，下列判断正确的是（ ）。

①∠A=∠D 时，两三角形相似； ②∠A=∠E 时，两三角形相似； ③
EF
DE BC
AB 时，两三角形相似； ④∠B=∠E 时，两三角形相似。

A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，则AC ∶BC=2∶3，则AD ∶BD=（ ）。

A ．2∶3
B ．4∶9
C ．2∶3
D ．不能确定
9．如图7，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）。

A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
10．如图8，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O ）20米的点A 处，沿OA 所在的直
线行走14米到点B 时，人影长度（ ）。

A ．变短3.5米
B ．变长1.5
米 C ．变长3.5米 D ．变短1.5米
图7
二、填空题（每小题4分，共24分）
图
8
C
B
1．地图上某地的面积为100cm 2，比例尺是1∶500，则某地的实际面积是_________m 2。

2．在Rt △ABC 中，AD 为斜边上的高，ABD ABC S S ∆∆=4，则AB ∶BC ＝_________。

3．如图9，DE ∥BC ，AD ∶DB= 2 ∶3 ，则ΔADE 与ΔABC 的周长之比为_________；面积之比为_________。

4．如图10，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则AF=_________cm 。

5.如图11，一油桶高0.8 m ，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分长0.8m ，则桶内油的高度为_________。

图9 图10 图11
6．在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝15，D 为AB 上一点，BD ＝
3
1AB ，在AC 上取一点E ，得△ADE ，当AE 的长为
_________时，图中的两个三角形相似。

三、解答下列各题（第8题16分，其余每小题 10分，共86分） 1．如图，在ABC ∆中，EF//DC ，DE//BC ，求证：AF ：FD=AD ：DB 。

2．如图,正方形ABCD 中,E 是CD 的中点,EF ⊥AE 。

求证:(1)EF 平分∠AFC ；(2)BF=3FC 。

3.如图，正方形MNPQ 的顶点在三角形ABC 的边上，当边BC=a 与高AD=h. 满足什么条件时，正方形MNPQ 的面积是三角形ABC 面积的一半？
4.在△ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥BC 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：CD 3
=AE ·BF ·AB ．
A
C D B
E
5．已知矩形ABCD ，长BC=12cm ，宽AB=8cm ，P 、Q 分别是AB 、BC 上运动的两点。

若P 自点A 出发，以1cm/s 的速度沿AB 方向运动，同时，Q 自点B 出发以2cm/s 的速度沿BC 方向运动，问经过几秒，以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△BDC 相似？
6.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
7.已知：如图，△ABC，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC ，且使相似比为2
1，要求
（1）位似中心在△ABC 的外部； （2）位似中心在△ABC 的内部； （3）位似中心在△ABC 的一条边上； （4）以点C 为位似中心．
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1．如图1，在△ABC 中，MN ∥BC ，MC 、NB 交于O ，图中共有（ ）对相似三角形。

A.1
B.2
C.3
D.4
2．如图2，P 是Rt ΔABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 做直线截ΔABC ，使截得的三角形与ΔABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A 、 1条
B 、 2条
C 、 3条
D 、 4条
3. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D,过点C 作CE ⊥AD 于E,CE 的延长线交AB 于点F,过点E 作EG ∥BC 交AB 于G,AE ·AD=16,AB=4 5 .（1）求证:CE=EF ；（2）求EG 的长.
4.如图，在ABC ∆中，AB=4，D 在AB 边上移动（不与A 、B 重合），DE ∥BC 交AC 于E ，连结CD ， 设1,S S S S DEC ABC ==∆∆．（1）当D 为AB 中点时，求S
S 1的值；（2）若x AD =，
y S
S =1，求y 与x 之间的
关系式，并指出x 的取值范围；
图1
图2
B
E
D F
G
C。