得出
，又因为
，因此
，联立即可求
出两角的度数，再结合（1）的结论可得出
的度数，再求答案即可.
2．数轴上 A, B, C, D 四点表示的有理数分别为 1, 3, －5, －8 （1）计算以下各点之间的距离：①A、B 两点, ②B、C 两点,③C、D 两点, （2）若点 M、N 两点所表示的有理数分别为 m、n，求 M、N 两点之间的距离． 【答案】 （1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3.
4．如图 1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使
，将一直角三角
板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方.
（1）将图 1 中的三角板绕点 逆时针旋转至图 ，使一边 在
的内部，且恰好平
分
，问：此时直线 是否平分
？请直接写出结论：直线 ________（平
分或不平分）
.
（2）将图 1 中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程
问题情境 2 如图 3,AB∥ CD,P 是 AB,CD 内部一点,P 在 BD 的左侧,可得∠ B,∠ P,∠ D 之间满足____关系。 (直接写出结论) 问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题: 已知 AB∥ CD,∠ ABE 与∠ CDE 两个角的角平分线相交于点 F （1）如图 4,若∠ E=80°,求∠ BFD 的度数；
，则
，
∵
，
∴
∵
分别为
∴
∴ ∵ ∴
的平分线所在直线
（3）:1:2:2 【解析】【解答】解：（3）∵
∴
∴
∵
∴
∵ ∴ ∴
∴
∴
.
故答案为：
.
【分析】（1）过点 C 作
点Q作
，则
，则
，再利用平行线的性质求解即可；（2）过
，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出
，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知：点
不在同一条直线，
.
（1）求证：
.
（2）如图②，
分别为
的平分线所在直线，试探究 与
的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有
，直线
交于点 ，
，
请直接写出
________.
【答案】 （1）证明：过点 C 作
，则
，
∵ ∴ ∴
（2）解：过点 Q 作
（2）如图 5 中,∠ ABM= ∠ ABF,∠ CDM= ∠ CDF,写出∠ M 与∠ E 之间的数量关系并证明你 的结论。
（ 3 ） 若 ∠ ABM= ∠ ABF,∠ CDM= ∠ CDF, 设 ∠ E=m°, 用 含 有 n,m°的 代 数 式 直 接 写 出 ∠ M=________. 【答案】 （1）解：根据问题情境 2，可得出∠ BFD=∠ AEF+∠ CDF ∵ ,∠ ABE 与∠ CDE 两个角的角平分线相交于点 F ∴ ∠ AEF=∠ FBE，∠ CDF=∠ FDE ∴ ∠ FBE+∠ FDE=∠ BFD ∵ ∠ E+∠ BFD+∠ FBE+∠ FDE=360° ∴ 80°+∠ BFD+∠ BFD=360° ∴ ∠ BFD=140°
（2）结论为：6∠ M+∠ E=360°
证明：∵ ∠ ABM= ∠ ABF,∠ CDM= ∠ CDF ∴ ∠ ABF=3∠ ABM，∠ CDF=3∠ CDM ∵ ∠ ABE 与∠ CDE 两个角的角平分线相交于点 F ∴ ∠ ABE=6∠ ABM，∠ CDE=6∠ CDM ∵ ∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360° ∴ 6（∠ ABM+∠ CDM）+∠ E=360° ∵ ∠ M=∠ ABM+∠ CDM ∴ 6∠ M+∠ E=360°
中，第 秒时，直线 恰好平分锐角
，则 的值为________.（直接写出结果）
（3）将图 1 中的三角板绕点 顺时针图
3），
与
的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例
说明. 【答案】 （1） 平分
（2） 或 49
（3）解：不变，设
，
，
，
【解析】【解答】（1）直线 平分
；（2）
或
【分析】（1）根据图形得到直线 ON 平分∠ AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 ° 的 速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角 ∠ AOC，求出 t 的值；（3）根据题意得到∠ AON=50°−y，∠ AOM−∠ NOC=x−y=40°.
（3）证明：根据（2）的结论可知 2n∠ ABM+2n∠ CDM+∠ E=360° 2n（∠ ABM+∠ CDME）+∠ E=360° ∵ ∠ M=∠ ABM+∠ CDM
∴ 2n∠ M+m°=360° ∴ ∠ M=
【解析】问题情境 1: 图 1 中∠ B,∠ P,∠ D 之间关系是：∠ P+∠ B+∠ D=360°，问题情境 2： 图 3 中∠ B,∠ P,∠ D 之间关系是：∠ P=∠ B+∠ D； 【分析】问题情境 1 和 2 过点 P 作 EP∥ AB，利用平行线的性质，可证得结论。 （1）利用问题情境 2 的结论，可得出∠ BFD=∠ AEF+∠ CDF，再根据角平分线的定义得出 ∠ AEF=∠ FBE ， ∠ CDF=∠ FDE ， 再 证 明 ∠ E+∠ BFD+∠ FBE+∠ FDE=360°， 就 可 建 立 方 程 80°+∠ BFD+∠ BFD=360°，解方程求出∠ BFD 的度数即可。 （2）根据已知可得出∠ ABF=3∠ ABM，∠ CDF=3∠ CDM，再根据角平分线的定义得出， ∠ ABE=6∠ ABM，∠ CDE=6∠ CDM，然后根据问题情境 1 的结论∠ ABE+∠ CDE+∠ E=360°，可 推出 6（∠ ABM+∠ CDM）+∠ E=360°，变形即可证得结论。 （3）根据已知得出 2n∠ ABM+2n∠ CDM+∠ E=360°，再根据∠ M=∠ ABM+∠ CDM，代入变形 即可得出结论。
（2）MN=
【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计 算即可； （2）因为 m、n 的大小未知，则 M、N 两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值.
3．问题情境 1:如图 1,AB∥ CD,P 是 ABCD 内部一点,P 在 BD 的右侧,探究∠ B,∠ P,∠ D 之间的 关系? 小明的思路是:如图 2,过 P 作 PE∥ AB,通过平行线性质,可得∠ B,∠ P,∠ D 之间满足____关系。 (直接写出结论)