兰州大学2012～2013学年第 一 学期
考试试卷（卷）
课程名称： 高等数学（物理类） 任课教师： 学院： 专业： 年级：
姓名： 校园卡号：
一 计算题（共50分）：
1. 计算极限0
lim 2sin x
x x →+3/（1） （5分）
2．计算极限0tan sin lim sin x x x
x x
→-- （5分）
3．计算极限2
112
lim
x x x x →++-- （5分）
4．计算sin ()(cos )x f x x =的导数 （5分） 5．设sin 3ρθ=，计算导数
dy
dx
（6分） 6．设0sin cos sin t x
x t y e dx =⎧⎪
⎨=⎪⎩⎰，计算导数dy dx （6分） 7．计算积分sin x
dx x
⎰
（6分） 8．计算积分3tan sec x xdx ⎰ （6分） 9．计算积分sin ln x dx ⎰ （6分）
二（10分）求由方程1sin 02x y y -+=所确定的二阶导数22d y
dx
三（10分）求圆环体，即圆片222()(0)x a y R R a -+≤<<绕y 轴旋转所得旋转体的体积.
四（10分）一圆柱形贮水桶高为H 米，底半径为r 米，桶内盛满水。

如果把桶内水全
部吸出，问至少需要作多少功？
五（10分）求幂级数21
n n nx ∞
=∑的和.
六（5分）证明当02
x π
<<
时，tan 2sin 3x x x +>
七（5分）证明极坐标曲线()r r θ=的曲率公式为22223/2|2|
()r r rr K r r '''+-='+。

据此证明双纽
线2cos 2r θ=的曲率半径与r 成反比.
题
号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 分 数 阅卷教师
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