华中科技大学土木工程与力学学院
《结构动力学》考试卷
2011～2012学年度(下)
1、试确定图示各体系的动力自由度，忽略弹性杆件自身的质量。

（16
分）
m
(1)
(2)
EI
m
(3)
(4)
m
EI=∞
解：（1）2个动力自由度 （2）3个动力自由度 （3）2个动力自由度 （4）1个动力自由度
2、试求图示结构的自振频率（15分）
ω
A
B
解：图示结构为单自由度体系，以横梁转角为自由度。

ϕ
由 有：
0A M =∑ 22
20
l
m x dx ml kl ϕϕϕ⋅⋅
⋅⋅
++=⎰
化简得：()
30
3k
lm m ϕϕ⋅⋅
+
=+ 自振频率∴
ω=
3、如图所示体系，各杆长为l ，EI=常数，1处有集中质量m ，2处受动力偶
；，试建立体系的微分方程，并作出动弯矩幅值图。

()M t =M sin
t θθ（14分）
l
sin M t
θ解：结构体系的、如下图所示：
1M p M
l
1
M
p
M sin M t
θ3
111122=2EI 233l l l l EI
δ⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭ 21111sin sin 23
6M
Ml l l M t t EI EI θθ⎛⎫∆=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 体系微分方程为:
∴
()321112sin 36M t l Ml y m y m y t
EI EI δθ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=-+∆=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3
3sin 24EI M
y y t ml ml
θ⋅⋅
⇒+
⋅=⋅
2
max
2333
1133344622M M Ml y EI EI EI ml ml EI
ml ml ml θ∴=⋅=⋅=---
惯性力幅值∴22
max
3362EI Ml M
I m y m ml EI l
θ==⋅⋅=
4、图示（a ）所示梁的跨中有一台电动机，实测得此梁自由振动时跨中点位移时程曲线如图所示（b ），周期T=0.06s ，若忽略梁的分布质量。

（20
分）
(a)()y t (b)
试求：（1）阻尼比；（2）共振时的动力系数；（3）共振时电动机每分钟ξβ的转数 n ；（4）若电动机转数为600r/min ，由于其离心力引起梁中点稳态的振幅为2mm ，求共振时的振幅A 。

解：（1）由跨中点位移时程曲线图可知： 15ln 11130
=
ln ln 0.01613
2n ln 242420k k n y y y y ξπππ+⋅
=⋅=⋅=⨯⨯ （2
）动力系数β 共振时 即=θω=1
θω 1
=
312βξ
∴≈（3）共振时 2==T
πθω 又2=60
n πθ 60
n 1000min r
T
∴=
=（4）转速时，1600min
r
n =102600
=
0.621000n n πθ
ωπ==
122
2
1
1
=
=
1.5625
10.61βθω
∴=-- 共振时 0=31β 12st mm y β∴=⋅ 0st A y β=⋅ 0
1
239.68A mm mm ββ∴=
⋅= 共振时的振幅为39.68mm
∴5、如图所示钢架，横梁刚度无穷大，柱子刚度为EI ，试用刚度法求自振频率和主振型。

（20分）
m
m
解：11333123272EI EI EI
k l l l =
⨯+=21123
3EI
k k l ==333
3EI k l
=又12m m m
==
211221,2121=2k
k m m ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 3
3
2.63
27.37EI ml EI
ml
=
1/s
ω∴2/s ω第一主振型：
3
1112222111113330.123127 1.62EI
Y K l EI EI Y K m m l ml
ω-=-=-=
--⋅⋅第二主振型：3
2112222211213338.10812727.37EI Y K l EI EI Y K m m l ml
ω--=-=-=
--⋅⋅6、试采用近似法求图示三层刚架的第一自振频率。

（15分）
k
k
3k
解：将横梁重力水平作用在横梁上,求横梁水平位移:
第一层：'1142733mg mg mg mg
x x k k
++==
=
第二层：'212721633mg mg mg mg
x x x k k k +=+=+=
第三层：'323161933mg mg mg
x x x k k k
=+=+=
3
112233
1
i i i m x m x m x m x =∴=++∑
7161942333mg mg mg
m m m k k k
=⨯
+⨯+⨯ 2793m g
k
=
附录：
1
、单自由度体系自振频率的计算公式：
ω2、两个自由度体系频率的计算公式：
（刚度2112212k k 1=+2m m ω⎛⎫ ⎪⎝⎭ 法）
或 （柔度
2
ω法）
3、主振型的表达式：
或2
1122222
211121
Y k k -m =-=-Y k -m k ωω2222
1212
2121
1112
1
m -
Y m =-=-1Y m m -δδωδδω
4、对数衰减率： k
k+n
y 1
ln 2n y ξπ≈
5、动力放大系数：
()max
2211t st y y βθω⎡⎤
⎣⎦==
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
6、杜哈梅（Duhamel ）积分： ()()()0
sin t
p F y t t d m τωττ
ω
=-⎰
7、近似法求自振频率的计算公式：
()()
()()()
2
1
2
20
1
n
l
i
i
i n
l
i i i mgY x dx m gY x
m t Y
x dx
m Y x ω==+=
+∑⎰∑⎰
或，ω=。