综合测试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·洛阳统一考试)已知集合A ＝{x |x 2－4x －12<0}，B ＝{x |x <2}，则A ∪(∁R B )＝( )A ．{x |x <6}B ．{x |－2<x <2}C ．{x |x >－2}D ．{x |2≤x <6}[解析] 由x 2－4x －12<0，解得－2<x <6， 所以A ＝{x |－2<x <6}．又∁R B ＝{x |x ≥2}， 所以A ∪(∁R B )＝{x |x >－2}，故选C. [答案] C2．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32i C.12＋32iD ．12－32i[解析] ∵z ＝－12－32i ，|z |＝1，∴z ＋|z |＝12－32i ，故选D. [答案] D3．在公比大于1的等比数列{a n }中，a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，则a 12＝( ) A ．96 B ．64 C ．72D ．48[解析] ∵a 3a 7＝a 2a 8＝72，a 2＋a 8＝27，∴a 2，a 8为方程x 2－27x ＋72＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝24，a 8＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 8＝24，又公比大于1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 8＝24，∴q 6＝8即q 2＝2，∴a12＝a2q10＝3×25＝96.[答案] A4．从4部甲型和5部乙型手机中任意取出3部，其中至少要有甲型与乙型手机各1部，则不同取法共有()A．35种B．70种C．84种D．140种[解析]由题知不同取法有C14C25＋C24C15＝70种．[答案] B5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥βD．若m⊥α，m⊥n，则n∥α[解析]对于选项A，若m∥α，α∩β＝n，能得到m∥n，或m与n异面，故A错误；对于选项B，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故B正确；对于选项C，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则不一定m⊥β，故C错误；对于选项D，若m⊥α，m⊥n，能得到n⊂α或n∥α两种可能，故D错误．故选B.[答案] B6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.163 B ．803 C.643D ．433[解析] 根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图所示，且EA ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，则FD ＝4，AE ＝2，AD ＝DC ＝4，FD ∥EA ，所以点F 和点D 到平面AEB 的距离相等，且为4，故V F －AEB ＝13·S △BAE ·AD ＝13×12×4×2×4＝163，V F －ABCD ＝13·S 四边形ABCD ·FD ＝13×4×4×4＝643，则该几何体的体积为163＋643＝803.[答案] B7．(2016·南昌调研)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF→＝－23，则λ＋μ＝( )A.12 B ．23 C.56 D ．712[解析]如图所示，以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0,1)，D (3，0)，由题意得CE →＝(1－λ)·CB→＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1)．因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13.因为AE→＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)， AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎨⎧(λ－1)(μ－1)＝13，(λ＋1)(μ＋1)＝2，整理得λ＋μ＝56.故选C.[答案] C8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 4 5 6 7 8 9 销量y (件)908483807568由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a .若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.16 B ．13 C.12D ．23[解析] 由表中数据得x ＝6.5，y ＝80，由y ＝－4x ＋a 得a ＝106，故线性回归方程为y ^＝－4x ＋106.将(4,90)，(5,84)，(6,83)，(7,80)，(8,75)，(9,68)分别代入回归方程可知有6个基本事件，因84<－4×5＋106＝86,68<－4×9＋106＝70，故(5,84)和(9,68)在直线的左下方，满足条件的只有2个，故所求概率为26＝13，选B.[答案] B9．(2015·沈阳质量监测(二))已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤2，若目标函数z ＝－mx ＋y 的最大值为－2m ＋10，最小值为－2m －2，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[－2,1]C ．[2,3]D ．[－1,3][解析] 可行域如图所示，A (－2,2)，B (2，－2)，C (2,10)．在点C 处z 取得最大值，在点B 处z 取得最小值，观察得直线y ＝mx ＋z 的斜率m 的取值范围为m ∈[－1,2]，故选A.[答案] A10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32[解析] 设双曲线的右顶点为C ，则|CF |＝a ＋c ，把x ＝－c 代入双曲线的方程，有|AF |＝b 2a ，∵双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，∴b 2a >a ＋c ，解之得，e >2.[答案] A11．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.32π3 B ．12π C ．16πD ．32π[解析] 将四面体ABCD 补形成正三棱柱，则其外接球的球心为上、下底面的中心连线的中点，底面△BCD 的外接圆半径为3，所以外接球的半径R ＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝2，球O 的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.[答案] C12．(2015·沧州12月摸底)已知函数f (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋x 2－2ax ＋2a 2，其中a ∈R ，若存在x 0>0，使得f (x 0)≤12成立，则实数a 的值为( )A.15 B ．25 C.12D ．1[解析] f (x )＝(ln x )2－2a ln x ＋x 2－2ax ＋2a 2＝(x －a )2＋(ln x －a )2，其几何意义为点(x ，ln x )与点(a ，a )的距离的平方．求f (x )的最小值问题可转化为曲线g (x )＝ln x 上一点与直线y ＝x 的最小距离．由g ′(x )＝1x ，得g ′(1)＝1，故点(1,0)到直线y ＝x 的距离最小，最小值为22，此时a ＝12.又存在x 0>0，使f (x 0)≤12成立，即f (x )min ≤12.故a ＝12.[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．∫π202sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4d x＝__________.[解析]依题意得∫π202sin⎝⎛⎭⎪⎫x＋π4d x＝∫π20(sin x＋cos x)d x＝(sin x－cosx)⎪⎪⎪⎪π2＝⎝⎛⎭⎪⎫sinπ2－cosπ2－(sin 0－cos 0)＝2.[答案] 214.⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋13xn的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2项的系数为__________．[解析]依题意得3n＝729，n＝6，二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x＋13x6的展开式的通项是T r＋1＝C r6·(2x)6－r·⎝⎛⎭⎪⎪⎫13xr＝C r6·26－r·x6－4r3.令6－4r3＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x2项的系数是C36·26－3＝160.[答案]16015．(2015·大连双基测试)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为__________．[解析]S和n依次循环的结果如下：11－a，2；1－1a，4.所以1－1a＝2，a ＝－1.[答案]－116．已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是__________．[解析]如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点为F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的投影为P ′，根据抛物线的定义知，|PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|P A |＝|PF |＋|P A |≥|AF |＝22＋(－1)2＝5，所以(|P A |＋|PM |)min ＝(|P A |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.[答案]5－1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(12分)(2015·云南师大附中适应性考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c sin A ＝3a cos C .(1)求C ；(2)若c ＝7，且sin C ＋sin(B －A )＝3sin 2A ，求△ABC 的面积． [解] (1)由正弦定理，得sin C sin A ＝3sin A cos C ， 因为sin A ≠0，所以tan C ＝3，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝3sin 2A ，得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ， 整理，得sin B cos A ＝3sin A cos A .若cos A ＝0，则A ＝π2，c b ＝tan π3，b ＝213，S △ABC ＝12bc ＝736； 若cos A ≠0，则sin B ＝3sin A ，b ＝3a . 由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，解得a ＝1，b ＝3.S △ABC ＝12ab sin C ＝334.综上，△ABC 的面积为736或334.18．(12分)在如图所示的几何体中，平面ACE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB ＝π2，EF ∥BC ，AC ＝BC ＝2EF ，AC ＝2AE ＝2EC .(1)求证：AE ⊥平面BCEF ； (2)求锐二面角A －BF －C 的大小．[解] (1)证明：∵平面ACE ⊥平面ABCD ，平面ACE ∩平面ABCD ＝AC ， 且BC ⊥AC ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面ACE ，BC ⊥AE . 又AC ＝2AE ＝2EC ，∴AE ⊥EC ， 又BC ∩EC ＝C ，∴AE ⊥平面BCEF .(2)建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2，则AE ＝EC ＝2，由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，F (1，－1,1)，E (1,0,1)，AB →＝(2，－2,0)，BF→＝(－1,1,1)． 由(1)知平面BFC 的一个法向量为m ＝AE→＝(1,0,1)． 设平面ABF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·AB →＝0，n ·BF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2y ＝0y ＋z －x ＝0，令x ＝1，可得n ＝(1,1,0)．∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12， ∴锐二面角A －BF －C 的大小为π3.19．(12分)某工厂生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100个进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1个元件A ，若是正品则盈利40元，若是次品则亏损5元；生产1个元件B ，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元．在(1)的前提下，①X 为生产1个元件A 和1个元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和均值；②求生产5个元件B 所得利润不少于140元的概率． [解] (1)由题意知，元件A 为正品的概率约为40＋32＋8100＝45.元件B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34.(2)①随机变量X 的所有可能取值为90,45,30，－15. P (X ＝90)＝45×34＝35； P (X ＝45)＝15×34＝320； P (X ＝30)＝45×14＝15； P (X ＝－15)＝15×14＝120. 所以随机变量X 的分布列为均值E (X )＝90×35＋45×320＋30×15＋(－15)×120＝66. ②设生产的5个元件B 中正品有n 个，则次品有(5－n )个． 依题意，得50n －10(5－n )≥140，解得n ≥196，又n ∈N ， 所以n ＝4或n ＝5.设“生产5个元件B 所得利润不少于140元”为事件A ， 则P (A )＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫344×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫345＝81128. 20．(12分)(2016·石家庄调研卷)已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2到抛物线C 1的准线的距离为2.(1)求抛物线C 1的方程；(2)过点A 作圆C 2：x 2＋(y －a )2＝1的两条切线，分别交抛物线于M ，N 两点，若直线MN 的斜率为－1，求实数a 的值．[解] (1)由抛物线定义可得：p 2＋p2＝2，∴p ＝2. ∴抛物线C 1的方程为：x 2＝4y .(2)设直线AM ，AN 的斜率分别为k 1，k 2， 将l AM ∶y －1＝k 1(x －2)代入x 2＝4y 可得： x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0，Δ＝16(k 1－1)2>0， ∴k 1∈R 且k 1≠1.由韦达定理可得：x M ＝4k 1－2，同理x N ＝4k 2－2. ∴k MN ＝y M －y Nx M －x N＝14(x M ＋x N )＝k 1＋k 2－1.又因为直线l AM ：y －1＝k 1(x －2)与圆相切，所以|a ＋2k 1－1|1＋k 21＝1，整理得3k 21＋4k 1(a －1)＋a 2－2a ＝0， 同理3k 22＋4k 2(a －1)＋a 2－2a ＝0.所以k 1、k 2是方程3k 2＋4k (a －1)＋a 2－2a ＝0的两个根， ∴k 1＋k 2＝－4(a －1)3，代入 k MN ＝k 1＋k 2－1＝－1可得：a ＝1. 21．(12分)(2016·石家庄调研卷)已知函数f (x )＝ln x －mx . (1)若f (x )的最大值为－1，求实数m 的值；(2)若f (x )的两个零点为x 1，x 2，且e x 1≤x 2，求y ＝(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)的最小值．(其中e 为自然对数的底数，f ′(x )是f (x )的导函数)[解] (1)f ′(x )＝1x －m ＝1－mx x .m ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)单调递增，f (x )＝ln x －mx 在(0，＋∞)无最大值．m >0，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1m 单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞时，f ′(x )<0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞单调递减，故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＝ln 1m －1＝－1，即m＝1.综上，m ＝1.(2)y ＝(x 1－x 2)f ′(x 1＋x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋x 2－m ＝x 1－x 2x 1＋x 2－m (x 1－x 2)． 又⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－mx 1＝0，ln x 2－mx 2＝0，故ln x 1－ln x 2＝mx 1－mx 2，即ln x1x2＝m(x1－x2)．故y＝x1－x2x1＋x2－m(x1－x2)＝x1－x2x1＋x2＋ln x2x1＝1－x2x11＋x2x1＋ln x2x1.令g(t)＝1－t1＋t＋ln t ⎝⎛⎭⎪⎫t＝x2x1≥e.而g′(t)＝－2(1＋t)2＋1t＝t2＋1t(t＋1)2>0，故g(t)在[e，＋∞)单调递增．故g(t)min＝g(e)＝21＋e.所以y的最小值为21＋e.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．(10分)选修4－1：几何证明选讲已知：如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，CF与B交于点E.(1)求证：P A·PB＝PO·PE；(2)若DE⊥CF，∠P＝15°，⊙O的半径等于2，求弦CF的长．[解](1)证明：连接OD.∵AB是⊙O的直径，弦DF与直径AB垂直，H为垂足，C在⊙O上，∴∠DOA＝∠DCF，∴∠POD＝∠PCE.又∠DPO ＝∠EPC ，∴△PDO ∽△PEC ， ∴PD PE ＝POPC ，即PD ·PC ＝PO ·PE . 由割线定理得P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴P A ·PB ＝PO ·PE .(2)由已知，直径AB 是弦DF 的垂直平分线， ∴ED ＝EF ，∴∠DEH ＝∠FEH . ∵DE ⊥CF ，∴∠DEH ＝∠FEH ＝45°.由∠PEC ＝∠FEH ＝45°，∠P ＝15°得∠DCF ＝60°. 由∠DOA ＝∠DCF 得∠DOA ＝60°.在Rt △DHO 中，OD ＝2，DH ＝OD sin ∠DOH ＝3， ∴DE ＝EF ＝DH sin ∠DEH ＝6，CE ＝DE tan ∠DCE ＝ 2.∴CF ＝CE ＋EF ＝2＋ 6.23．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4 2.(1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标．[解] (1)对于曲线C 1有⎩⎨⎧x 3＝cos α，y ＝sin α，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋y 2＝cos 2α＋sin 2α＝1，即C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1；对于曲线C 2有ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22ρ(cos θ＋sin θ)＝42⇔ρcos θ＋ρsin θ＝8⇔x ＋y －8＝0，所以C 2的直角坐标方程为x ＋y －8＝0.(2)显然椭圆C 1与直线C 2无公共点，椭圆上点P (3cos α，sin α)到直线x ＋y －8＝0的距离为：d ＝|3cos α＋sin α－8|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－82，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1时，d 取得最小值为32，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.24．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|＋2|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>3；(2)不等式f (x )≥1在区间(－∞，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2x －2>3，解得x >73； ②⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <2，2－x ＋2x －2>3，解得x ∈Ø； ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2－x ＋2－2x >3，解得x <13， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞.(2)当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤2，－x ＋2a －2，2<x <a ，3x －2－2a ，x ≥a ；当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋6，x ≤2，3x －6，x >2；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2＋2a ，x ≤a ，x －2a ＋2，a <x <2，3x －2－2a ，x ≥2.∴f (x )的最小值为f (2)或f (a )， 则⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≥1，f (2)≥1，解得a ≤1或a ≥3.。