高中数学第二章数列2.1.1数列的概念与通项公式练习（含解析）新人教A 版必修5知识点一 根据数列的前几项求通项公式1．数列－1，3，－7，15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n ＝(－1)n ·(2n－1) B ．a n ＝(－1)n·(2n －1) C ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n－1) D ．a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)答案 A解析 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1＝21－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，…，所以通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n－1)．2．根据数列的前4项，写出下列数列的一个通项公式． (1)0．9，0．99，0．999，0．9999，…； (2)112，245，3910，41617，…；(3)12，34，78，1516，…； (4)3，5，9，17，…． 解 (1)0．9＝1－0．1＝1－10－1，0．99＝1－10－2，0．999＝1－10－3，0．9999＝1－10－4，故a n ＝1－10－n(n ∈N *)．(2)112＝1＋112＋1，245＝2＋2222＋1，3910＝3＋3232＋1，41617＝4＋4242＋1，故a n ＝n ＋n2n 2＋1(n ∈N *)．(3)12＝21－121＝1－121，34＝22－122＝1－122， 78＝23－123＝1－123，1516＝24－124＝1－124， 故a n ＝2n－12n ＝1－12n (n ∈N *)．(4)3＝1＋2，5＝1＋22，9＝1＋23，17＝1＋24， 故a n ＝1＋2n(n ∈N *)．知识点二 数列通项公式的应用3．数列23，45，67，89，…的第10项是( )A ．1617B ．1819C ．2021D ．2223 答案 C解析 由题意知数列的通项公式是a n ＝2n 2n ＋1，∴a 10＝2×102×10＋1＝2021．故选C ．4．若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)，则a 5－a 4＝( ) A ．110 B ．－110 C ．190 D ．1990 答案 C解析 依题意知，a 5－a 4＝15＋1＋15＋2＋…＋12×5－14＋1＋14＋2＋…＋12×4＝19＋110－15＝190．故选C ． 5．已知数列3，3，15，21，33，…，32n －1，…，则9是这个数列的( )A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第15项 答案 C解析 依题意，该数列的通项公式为a n ＝32n －1．令a n ＝9，得n ＝14，故选C ．6．已知数列{a n }的通项公式，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1n 为奇数，2n －2n 为偶数，则a 2a 3的值是( )A ．70B ．28C ．20D ．16 答案 D解析 a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3－1＝8，a 2a 3＝16．故选D ．知识点三 数列的单调性7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2nn ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．摆动数列 D ．常数列 答案 A 解析 a n ＝2n n ＋1＝2－2n ＋1单调递增．故选A ． 8．已知数列{a n }满足a 1<0，a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”)．答案 递减解析 由已知a 1<0，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，得a n <0(n ∈N *)．又a n ＋1－a n ＝2a n －a n ＝a n <0，所以{a n }是递减数列．易错点一 忽视数列与函数的区别9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x ＞7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是________．易错分析 本题易错把数列单调递增等同于所在函数递增，忽视二者区别错算出a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3，事实上数列单调递增，所在函数不一定单调．答案 (2，3)解析 由题意，得点(n ，a n )分布在分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x ＞7的图象上．因此当3－a ＞0时，a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 7； 当a ＞1时，a 8＜a 9＜a 10＜…； 为使数列{a n }递增还需a 7＜a 8． 故实数a 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3－a ＞0，a ＞1，f 7＜f 8，解得2＜a ＜3，故实数a 的取值范围是(2，3)．易错点二 审题不细心，忽略细节10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是( ) A ．第5项 B ．第6项C ．第4项或第5项D ．第5项或第6项易错分析 本题易不注意n ＝5和n ＝6，哪一个距离n ＝214更近而错选D ．答案 A解析 a n ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫n －2142＋4418，因为n ∈N *，5＜214＜6，且a 5＝55，a 6＝54，所以数值最大的项为第5项．故选A ．一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．数列1，－2，3，－4，…是一个摆动数列B ．数列－2，3，6，8可以表示为{－2，3，6，8}C ．{a n }和a n 是相同的概念D ．每一个数列的通项公式都是唯一确定的 答案 A解析 对于A ，摆动数列是指从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，故A 正确；数列与数集是不同的，故B 错误；{a n }和a n 是不同的概念，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，而a n 表示的是这个数列的第n 项，故C 错误；每一个数列的通项公式并不都是唯一确定的，故D 错误．故选A ．2．数列7，9，11，…，2n －1的项数是( ) A ．n －3 B ．n －2 C ．n －1 D ．n 答案 A解析 数列通项公式为2n ＋5，而2n －1＝2(n －3)＋5，所以项数为n －3．故选A ． 3．已知数列{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列通项公式可以作为数列{a n }的通项公式的个数有( )①a n ＝12[1＋(－1)n ＋1] ②a n ＝sin 2n π2 ③a n ＝1－cos n π2 ④a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n 为奇数，0n 为偶数⑤a n ＝12[1＋(－1)n ＋1]＋(n －1)(n －2)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D解析 要判别某一公式不是数列的通项公式，只要把适当的n 代入a n ，其不满足即可，若要确定它是通项公式，必须加以一定的说明．由三角公式知，②③实质相同，容易验证前四项均符合；①④前四项显然符合，对于⑤，将n ＝3代入不符合．所以有4个可作为数列{a n }的通项公式．4．数列－13×5，25×7，－37×9，49×11，…的通项公式a n 为( )A ．(－1)n ＋112n ＋12n ＋3B ．(－1)n ＋1n2n ＋12n ＋3 C ．(－1)n12n ＋12n ＋3 D ．(－1)nn2n ＋12n ＋3答案 D解析 观察式子的分子为1，2，3，4，…，n ，…，分母为3×5，5×7，7×9，…，(2n ＋1)(2n ＋3)，…，而且正负间隔，故通项公式a n ＝(－1)nn2n ＋12n ＋3．5．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)(n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A ．12n ＋1 B ．12n ＋2C ．12n ＋1＋12n ＋2D ．12n ＋1－12n ＋2 答案 D 解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n， ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2． 二、填空题6．已知一组数1，1，2，3，5，8，x ，21，34，55，按这组数的规律，x 应为________． 答案 13解析 由题意得1＋1＝2，1＋2＝3，2＋3＝5，3＋5＝8．∴x ＝5＋8＝13．7．23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是________． 答案 a n ＝2n 2n －12n ＋1解析23＝21×3，415＝2×23×5，635＝2×35×7，863＝2×47×9，1099＝2×59×11，…，∴a n ＝2n 2n －12n ＋1．8．数列{a n }满足a n ＝n －2014n －2015，若a p 最大，a q 最小，则p ＋q ＝________．答案 89 解析 a n ＝n －2014n －2015＝1＋2015－2014n －2015．由于44＜2015＜45，则当n ≤44时，a n ＝1－2015－20142015－n＜1且递减；当n ≥45时，a n ＝1＋2015－2014n －2015＞1且递减．所以a 44最小，a 45最大，即p ＝45，q ＝44，故p ＋q ＝45＋44＝89． 三、解答题9．已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，试求a 1＋a 100和a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 99－a 100的值．解 ∵a 1＝1－1＝0，a 100＝100．∴a 1＋a 100＝100． 又a 1＝0，a 3＝2，a 5＝4，…，a 99＝98，而a 2＝2，a 4＝4，a 6＝6，…，a 98＝98，a 100＝100， ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a 99－a 100 ＝0－2＋2－4＋4－…＋98－100 ＝－100．10．数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1．(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0，1)内； (3)区间13，23内有无数列的项？若有，有几项？解 (1)a 7＝7272＋1＝4950．(2)证明：∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1， ∴0<a n <1，故数列的各项都在区间(0，1)内． (3)∵13<n 2n 2＋1<23，∴12<n 2<2． 又n ∈N *，∴n ＝1，即在区间13，23内有且只有一项a 1．。