故an 是首项为2，公差为3的等差数列，
故an 的通项为an 2 3(n 1) 3n 1
二、递推数列：
类型一、累加法 形如 an1 an f (n) 的递推式
条件：f（1）+ f（2）+… f（n-1）的和要可以求出才可用
例1：在﹛an﹜中，已知a1=1,an=an-1+n (n≥2),求通项an.
通项公式的求法
一、普通数列：
类型一 观察法：已知前几项，写通项公式
例.试写出下列数列的通项公式an
（1） 2 ，-1 ，2，- 1 , 2，- 1 3 25 3
（2） 7 ，77 ，777， 7777
an

(1)n1

2 n
an

7 9
(10n

1)
（3）b ，a ，b， a
方法规律总结：
类型三、形如 an1 pan f (n) 的递推式
3、形如 an1 pan An2 Bn C
例 7.已知数列{an } 满足 a1 1 ，且 an1 2an n 2 n 1 ，求通项a n
分析：构造等比数列{an+xn2+yn+z}，
解：设 an1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z) ，
例3：普(宁0华7重 美实庆验学)各校 项李锋均l正 ifen数 g50的 5@数 163列 .com aQnQ的:55前 828n99项4 和S n
满足S1 1且6Sn (an 1)(an 2),n N *，
求an 的通项公式
分析：由题意得 6Sn an2 3an 2 ①
解： an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
.......
a3 32 , a2 3
a2
a1
以上各式相乘得an a1 3 32 33 3n2 3n1
2 3123(n-1)
n( n-1)
23 2
n( n-1)
an 2 3 2
练：已知 an 中，a1

2, an1


2

2 n


an , 求通项an .
类型三、形如 an1 pan f (n) 的递推式
通用方法：待定系数法
1、形如 an1 pan q (一)若数列相邻两项 an1与an满足 an 1 pan q
解： Q an an1 n
an1 an2 n 1
an2 an3 n 2 an3 an4 n 3
.......
a3 a2 3 以上各式相加得
a2 a1 2
an a1 (2 3 4 L n)
(n+2)(n-1)
an

a
2
b

(1)n
a
2
b
1.正负号用(-1)n或(-1)n+1来调节。分式形式观察分母间关系和分子间关系的
同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。
2.如0.7，0.77,0.777…类的数列，要用“归九法” an

7（1 9
-
1 10n
)
3.两个循环的数列是0,1,0,1…的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b…与
分析：构造等比数列{an+x}，若可以观察x值更好
解：由 an 2an1 1 得： an 1 2(an1 1)
∴{an 1} 是以 a1 1 2 为首项，2 为公比的等比数列
故 an 1 2 2n1 2n
∴ an 2n 1
类型三、形如 an1 pan f (n) 的递推式
Sn 1 1)

an
1]

2 n 1 2n 1 n
2
例3：设数列﹛an﹜满足a1=1, an=-SnSn-1(n≥2，n∈N*）
求﹛an﹜的通项公式.
提示：把an代换成Sn-Sn-1 等式两边再同÷（-SnSn-1）
1 n 1
an


1 n(n 1)
n2
2、形如 an1 pan An B
分析：构造等比数列{an+kn+b}，
例解6.已：知设数列a{nan1} 满足k (ann112)anb(2n21)(，an且a1 kn2，b求)通，项an
对比系数得
k b
2 k
解得 k 1

2, b

1
故 an 5 2n1 2n 1
练：已知
an
=1+
中,a1

2 1, an

3n1

an1
(n

2)证明：an

3n 1 2
类型二、累乘法形如 an1 f (n) an 的递推式
条件：f（1）f（2）… f（n-1）的积要可以求出才可用
例2：已知 an 中，a1 2,an1 3n an,求通项an.
0,a-b,0,a-b..的和，分别写通项然后相加再化简。
类型二、前n项和Sn法 已知前n项和，求通项公
式
ห้องสมุดไป่ตู้
an


S1 Sn

Sn1
(n 1) (n 2)
例2：设﹛an﹜的前n项和为Sn,且满足Sn=n2+2n-1,
求﹛an﹜的通项公式.
提示：当n 2时，an Sn (n2 2n - 1) - [(n - 1)2 2(n
当n 1时，6a1 6S1 a12 3a1 2
解得a1 1或a1 2又a1 S1 1故a1 2
且有6S n1

a
2 n1
3an1
2
②
由②－①整理得
S n1 S n an1
可找出 a n1与a n的关系
(an1 an )(an1 an 3) 0又an1 an 0 an1 an 3
则可考虑待定系数法设 an1 x p an x
(其中 x为待定系数，满足px - x q)
构造新的辅助数列{an x}是首项为 a1 x
公比为p的等比数列，求出an x ,再进一步求通项an
例3：数列 an 满足a1 1,an1 2an 1 ,求an.