第1章 随机事件及其概率 一.填空题1. 向指定目标射三枪，以分别表示事件“第一、二、三枪击中目标”，试用表示以下各事件：（1）只击中一枪记为 123,,A A A 123,,A A A （2）三枪都未击中记为 （3）至少击中一枪记为 . 解1)123123123A A A A A A A A A ++ 2)123A A A 3)123A A A ∪∪ 或123 或123A A A Ω−2. A,B,C 是三个随机事件，试用A,B,C 表示以下各事件的概率, 则1)A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为 2)A ，B ，C 中都发生的概率为 3)A ，B ，C 都不发生的概率为 . 解1)()P A B C ∪∪ 2)()P ABC 3)()P ABC3.(97-4-3)设A,B 是任意两个随机事件,则(()()()())P A B A B A B A B ∪∪∪∪=解:由分配律()()(()()()())(())(()))P A B A B A B A B P AA B AA B P BB P ∪∪∪∪=∪∪==∅=0 4.(92-3-3)将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 解：C 字母每个位置都有2种可能，其它事唯一确定的，2!2!7!=112605.(07-1,3,4-4)在( 0,1 )中随机地取2个数,则两数之差的绝对值小于1/2的概率为解:12x y −<,如图所示,1141P −==34. 6. (93-3-3) 一批产品共有10件正品,2件次品，每次取1件,现不放回抽取3次，则第2次取次品的概率 解：法1（抽签原理）212=16法2（排列问题），第2次取次品，第1,3次是剩下任取2个的排列：21110121110××=××167. (97-1-3) 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今有2人依次随机从袋中各取一球，不放回，则第2个人取黄球的概率 . 解：法1：（抽签原理）2050=25法2：（排列问题，第2个人取黄球，第1个人从剩下的49个取一个）2049250495×=×法3：（排列问题，第2个人取黄球，第1个人取黄球或白球）()201930201920302504950495×+×+×==××（注：抽签原理最简，只跟中签数与总签数的比值有关，与抽取第几个无关；排列问题——分次完成）8. (92-1-3) 已知()()()11()()(),0,41P A P B P C P AB P AC P BC ======6，事件A,B,C 全不发生的概率为 解:()()()11()()(),0,,416()()(P A P B P C P AB P AC P BC ======∵ )00ABC AB P ABC P AB P ABC ⊆≤=∴=,()()()()()()()11(1()1[]132416P ABC P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =−∪∪=−++−−−+=−×−×=38()9. (99-1-3)设三事件A,B,C 两两独立,且19,()()(),21ABC P A P B P C P A B C =Φ==<∪∪=()P A 6，则= 解：()()()()()()()()()2(9613)3P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P A P A ∪∪=++−−−+=−=()()()()213161630,44P A P A P A P A −+=⇒==或1(),2P A <∴∵()14P A =10. (94-1-3)已知A,B 两个事件满足条件()()P AB P AB =,且(),P A p =则()P B =解：()()()1()1()()()P AB P AB P A B P A B P A P B P AB ==∪=−∪=−−+ ()1()1P B P A p ⇒=−=−11.(89-1-2)甲,乙两人独立对同一目标射击1次,其命中率分别为0.6和0.5,现目标被击中,则它是甲射中的概率为解: A=甲命中目标, B=乙命中目标,C=目标被击中,C A B =∪,由题意A,B 独立()()()()()0.50.60.50.60.8P C P A B P A P B P AB =∪=+−=+−×=, ()0.6()0.75()0.8P A P A C P C === 12.(93-4-3)设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取两件有一件是不合格品, 则另一件也是不合格品的概率为解:2411246443/216443/25C P C C C ×===+×+× 13. (00-1-3)设两个相互独立的事件A,B 都不发生的概率为1/9,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等, 则= ()P A解:()(()()()()()()P AB P AB P B P AB P A P AB P B P A =⇒−=−⇒=2()()()()1/9,()1/3()2/3P AB P A P B P A P A P A =⇒=⇒=⇒=14.(88-1-2) 设在三次独立实验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少发生一次的概率等于19/27,则事件A 在每次.实验中出现的概率是 解:3319811)(1)27273p p p −−=⇒−=⇒=1( 15.(90-3-3)一射手对同一目标独立地进行4次射击, 若至少命中一次的概率为8081, 则该射手的命中率为 解：44801241(（舍去） 1)(1),818133p p p p −−=⇒−=⇒==二.选择题1. (91-3,4-3)设A,B 是任意2个概率不为0的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是( ) 解D (A),A B 互不相容， (B) ,A B 相容, (C) ()()()P AB P A P B =， (D) ()(P A B P A −=)2. (03-4-4) 对于任意两事件A,B ( ) 解B (A) 若,则A,B 一定独立. (B) 若AB ≠∅AB ≠∅,则A,B 有可能独立. (C) 若,则A,B 一定独立.， (D) 若AB =∅AB =∅,则A,B 一定不独立.3.把3名学生等可能地分配到8间宿舍中的每一间去(一般宿舍限住4人)，则3名学生被分到不同宿舍的概率为( ) (P22,分房原理) 解B (A ) (B ) (C ) (38/3A 83338/8A 38/8C D ) 38/3C 84. (90-3-3) 设A,B 是两随机事件,且B A ⊂,则下列结论中正确的是( ) 解A (A) ， (B) , (C) ()(P A B P A ∪=))()(P AB P A =()(P B A P B =))， (D) ()()(P B A P B P A −=−5. (93-3-3)对事件A,B,满足()P B A =1的充分条件是( ) 解D (A) A 是必然事件， (B) (P B A =0, (C) A B ⊃， (D) A B ⊂6.(06-1,4-4) 设A,B 是随机事件,且()0,()1P B P A B >=,则必有( ) 解C (A) ， (B) , (C) ， (D) ()(P A B P A ∪>))))()(P A B P B ∪>()(P A B P A ∪=()(P A B P B ∪=7.(98-1-3).设A,B 是两个随机事件,且0()1,()0,()()P A P B P B A P B A <<>=,则必有( ). 解C (A)()(P A B P A B =)， (B)()(P A B P A B ≠)， (C)()()()P AB P A P B =, (D). ()()()P AB P A P B ≠分析 法1:根据事件独立的定义----A 是否发生不影响B 发生的概率,所以A,B 独立 法2:()()()()()1()()()()()()()()1()P AB P B P AB P AB P B A P B A P B A P A P P AB P A P B P A P A A −=⇒====⇒−−−8.(07-1,3,4-4) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中的概率为( ). 解C (A)23(1)p p −, (B) 26(1)p p −, (C) 23(1)2p p −, (D) 226(1)p p −. 分析:第4次射击命中目标概率为p,前3次命中1次,概率为,椐乘法原理,123(1)3(1)C p p p p −=−2第4次射击恰好第2次命中的概率为223(1)p p −.选C三.计算题1. (90-3-4)从0,1,..,9等10个数字中任意选出三个不同的数字，求下列事件的概率.1A ={三个数字中不含0与5},={三个数字中含0但不含5}2A 解:()()31811233101077,,1530C C C P A P A C C ====28 2. (89-1-2) 已知,,()0.5P A =()0.6P B =()0.P B A =8)求(P A B ∪解:()()()()()()()()0.50.60.50.80.7P A B P A P B P AB P A P B P A P B A ∪=+−=+−=+−×= 3. (91-1-2) 已知,,,求()0.4P A =()0.3P B =()0P A B ∪=.6(P AB )解: ()()()() 0.40.3 ()0.6()0.1P A B P A P B P AB P AB P AB ∪=+−⇒+−=⇒=()()()() 0.40.10.3P AB P A B P A P AB =−=−=−=4. (91-4-3) 已知,,求()0.7P A =()0P A B −=.3(P AB )P A B P A P AB P AB P AB −=−⇒=−⇒=解:()()() 0.30.7() ()0.4()1()10.40.P AB P AB ⇒=−=−=65.在某一男、女人数相等的从群中, 已知5%的男人和0.25%的女人患有色盲. 今从该人群中随机地选择一人, 试问: (1)该人患有色盲的概率是多少？ (2)若已知该人患有色盲, 那么他是男性的概率是多少？ 解: 1)设男人为A,女人为B,患有色盲为C,()1/2,()1/2,()0.25%,()5%,P A P B P C A P C B ====11()()()()()0.25%5% 2.625%22P C P A P C A P B P C B =+=×+×=, 该人患有色盲的概率是2.625%2) 15%()()2()0.9524()()()() 2.625%P B P C B P B C P A P C A P B P C B ×==+=,若该人患有色盲, 则是男性的概率是95.24%6.假定某年级甲、乙、丙三个班级同学参加一项技能测试，三个班级同学依次占全年级的20%，45%，35%，测试后各个班级的不及格率依次为5%，4%，2%，1) 求该年级同学技能测试的不及格率； 2) 若全年级随机抽查中发现1个同学不及格，试判断他是甲班同学的概率。