《高等数学》模拟题二
第一题名词解释
1. 邻域 ; 以 a 为中心的任何开区间称为点 a 的邻域，记作U(a)
设δ 是任一正数，则在开区间（a-δ，a+δ）就是点 a 的一个邻域，这个邻域称为点 a 的δ邻域，记作 U(a,δ )，即 U(a,δ )={x|a- δ <x<a+δ }。

点 a 称为这邻域的中心，δ称为这邻域的半径。

a 的δ邻域去掉中心 a 后，称为点 a 的去心δ邻域，有时把开区间（ a-δ， a）称为 a 的左δ邻域，把开区间（ a， a+δ）称为 a 的右δ邻域。

2.函数的单调性：函数的单调性（ monotonicity ）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。

3. 导数：
4.最大值与最小值定理：
5.定积分的几何意义：
第二题 选择题
1、如果
f ( x)在[a, b]连续，在 (a,b)可导，
c 为介于 a, b 之间的任一点，
那 么 在
(a, b)
（
A
）找到两
点
x 2 , x 1
， 使
f ( x 2 )
f ( x 1 )
( x 2
x 1 ) f (c)
成立
.
（A ）必能； （ B ）可能； （C ）不能； （ D ）无法确定能 .
2、下列结论正确的是（ D ）
（A ） 初等函数必存在原函数；
（B ） 每个不定积分都可以表示为初等函数； （C ） 初等函数的原函数必定是初等函数；
（D ）
A,B,C
都不对
.
1
x
dx 的值是
（
3、定积分
e
D ）
e
e
1
D
2 .
（A ） ； （B ） 1
；（C ）
2
；（）
2
4、由球面
x
2
y
2
z
2
9与旋转锥面 x
2
y
2
8z
2
之间包含
z 轴的部分的体积
V
(B ) ；
（A ）144 ；（B ） 36 ；
（C ）72 ；（D ） 24 .
5 、设平面方程为 Bx
Cz D
0，且
B,C ,D
0，则平面（ B ）.
(A)
平行于 x 轴 ； (B)
平行于 y 轴 ；
；
(C)经过 y 轴
(D)垂直于 y 轴.
6
、 函 数
f ( x, y)
在 点
( x 0 , y 0 )
处 连 续
,
且 两 个 偏 导 数
f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 )
存在是
f ( x, y)
在该点可微的
( B ).
（A ）充分条件 , 但不是必要条件； （B ）必要条件 , 但不是充分条件；
（C ）充分必要条件； （ D ）既不是充分条件 , 也不是必要条件 .
7 、设
是由三个坐标面与平面 x
2 y z =1 所围成的
空间区域 , 则
=( C ).
xdxdydz
(A)
1 ； (B)
1 ；
48
48
(C)
1 ； (D)
1 .
24
24
8、设
P( x, y) , Q( x, y) 在单连通区域 D 内有一阶连续偏导数 ,
则在 D 内
与
L
Pdx Qdy 路径无关的条件
Q
P 是( C ).
x
, ( x, y) D
y
(A) 充分条件 ; (B) 必要条件 ; (C) 充要条件 .
9、部分和数列
s n 有界是正项级数
u n 收敛的 ( C)
n 1
(A) 充分条件； (B) 必要条件；
(C) 充要条件； (D) 既非充分又非必要条件 . 10、方
程
y sin x 的通解是 ( A ).
(A)
y
cosx
1 C 1 x
2
C 2 x C 3 ；
2
(B)
y
sin x
1
C 1 x
2
C 2 x
C 3
；
2
(C)
y cosx C 1
；
(D) y 2sin2x
.
第三题 设 f ( x )
f ( x
1 )
2 x, 其中 x 0, x 1 .求 f ( x).
x
第四题
2.
设 y
1
arctan 1 x 2
1
ln 1 x 2
1
,求 y .
2
4 1 x 2
1
解
设 u
1 x
2 ,
则 y 1 arctan u 1 ln u 1 ,
2 4 u 1
y u
1
1
1
1
)
1
1
4
,
2
(
1 u 4
2
2(1 u ) 4 u 1 u 1
2x
x
2
x ,
u x ( 1 )
x
1 x 2
y x
1
.
( 2x
x 3 )
1
x 2
第五题
解
求 极 限 l i m
x
2
.
1 5x
(1 x 0
5
x)
分子关于 x 的次数为 2.
1
1 1
(5x)
1 1 (1
2 2
5
1 5x (1 5x)
5
1) (5x)2
o(x 2
) 1 x 2x
o( x )
5 2! 5 5
原式 lim
x 2
1 .
o( x 2 )] (1 x)
2
x 0
[1x 2x 2
第六题
求
e x (1 s i nx) 1 dx.
c o xs
e x
(1
2sin x cos x
)
(e
x
1
e x
tan x
) dx
解
原式
2
2 dx 2 cos 2
x
2 x 2
2 cos
2
2
[( e x
d(tan x ) tan x
de x
]
d (
e x
tan x
)
2
2
2
e x
tan
x
C.
2
第七题求 2dx.
s i nx
s i nx c o xs
由 I2sin x dx,解
0 sin x cos x
则 I J2 dx,
02
I J2 sin x cos x
sin x dx
0cos x
2
cos x
设J dx,
sin x cos x
2
d(cos x sin x)
sin x
0.
cos x
故得2I,即I.
24。