设随机游动的状态空间I = {0，1，2，…}，移动的 规则是：
（1）若移动前在0处，则下一步以概率p向右移 动一个单位，以概率q停留在原处（p+q=1）；
（2）若移动前在其它点处，则均以概率p向右移 动一个单位，以概率q向左移动一个单位。
设 X n 表示在时刻n质点的位置，
则
{ X n ， n 0 }是一个齐次马氏链，写出其一步转
移概率。
首页
qp
q p
012 左反射壁
m-1 m 右反射壁
q p 0 0 0 ... 0 0 0
q
0
p
0
0
...
0
0
0
0 q 0 p 0 ... 0 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ... ... ...
0 0 0 0 0 ... q 0 p
0 0 0 0 0 ... 0 q p
阵。
I={1，2，3，4，5，6}
首页
1 1 1 1 1 1
6
6
6
6
6
6
0
2 6
1 6
1 6
1 6
1 6
0
0
3
1
1
1
P
6 6 6 6
0
0Hale Waihona Puke 0411
6 6 6
0
...
0
0
5 6
1
6
0 ... 0 0 1 0
例1
甲、乙两人进行比赛，设每局比赛中甲胜的概率
是p，乙胜的概率是q，和局的概率是 r ，
考虑质点从j出发移动一步后的情况
在以概率 p 移到 j 1 的假设下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j1
同理 以概率 q 移到 j 1 的前提下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j1 根据全概率公式有 u j u j1 p u j1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，分析它的 概率特性。
例2 直线上的随机游动时的位置X(t),是 无后效性的随机过程.
例3 电话交换台在t时刻前来到的呼叫数X(t), 是无后效性的随机过程.
例4 布朗运动
无 未来处于某状态的概率特性只与现在状态 记 有关，而与以前的状态无关，这种特性叫 忆 无记忆性（无后效性）。 性
Yn
0
1|
X
n
2)
P(Yn 0) p0
首页
p22 P(X n1 2 | X n 2) P(Yn 1) p1
所以转移矩阵为
p0 p1 p2 p3 p4 L
P1
p0 0
p1 p0
p2 p1
p3 p2
p4 p3
L L
0
0
p0
p1
p2
L
L L L L L L
首页
证 P{X n j} P{Xn j, U X0 i} i P{X n j, X 0 i}
iI
P{X 0 i}P{X n j | X 0 i}
iI
pi
p(n) ij
iI
例2 设马氏链的状态空间I={1,2},初始分布为
P1
3 5
,
P2
2 , 试对n=1,2,3,计算 5
P(n) 1
,
P(n) 2
解：n 1,
P(1) 1
P{X1 =1}=
pi
p (1) i1
p1
p (1) 11
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一步转移概率矩阵的计算
引 例 例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生 一次随机游动，移动的规则是：
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 或向右 移动一单位；
1 2
向左
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
设在第 n 个服务周期中到达的顾客数为一随机变量Yn
且诸Yn 独立同分布：
P（Yn k) pk ， k 0,1, 2,L ， pk 1
k
记 X n 为服务周期 n 开始时服务台前顾客数
则有
Xn1 YXn,n 1Yn,
若Xn 1
在第n周期已有一个 顾客在服务，到第n+1
若 Xn 0 周期已服务完毕
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5．设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随 机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的 球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k， 试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特 模型），并求转移概率矩阵。
解 这是一个齐次马氏链，其状态空间为
I={0，1，2，…，a} 0 1 0 0 ... 0
它又转移概率矩阵P 0.9 0.1
0
0.1 0.8 0.1
初始分布为p0 0.3，p1 0.4，p2 0.3，试求 概率（1）p{X0 0, X1 1, X2 2}
（2）p{X2 0, X3 2, X4 1}
• 练习：马氏链的状态空间I={1，2，3}，初始概 率为
1
4
3 4
P(Yn 0) p0
p11 P(X n1 1| X n 1) P( X n 1 Yn 1| X n 1) P(Yn 1) p1
p20 P(X n1 0 | X n 2) P( X n 1 Yn 0 | X n 2)
p21
P( X n1
1|
Xn
2)
P(Yn 1)
P(Xn 1
当r
1
(
q )a p
(
即p q
qp时)c ， 甲先1输(光qp)的c 概率为b
c
用同样的方法可以求得乙先输光的概率
当
p
q
时，乙输光的概率为1
(
q) p
a
当 p q 时，乙先输光的概率为a
c
1
(
q p
)
c
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例3 排队问题
顾客到服务台排队等候服务，在每一个服务周期中只 要服务台前有顾客在等待，就要对排在前面的一位提 供服务，若服务台前无顾客时就不能实施服务。
p2
p (1) 21
iE
定理4.3 马尔科夫链的有限维分布：
P{X1 i1, X2 i2 ,L , Xm im}
p p p L p i ii1 i1i2
im-1im
iI
由全概率公式得到证明，它是公式（1)的推广。
例3：考虑状态0，1，2上的一个马氏链Xn , n 0,
0.1 0.2 0.7
0
p1
1 4
,
p2
1 2
,
p3
1,P 4
1 3
1 3
1 3
0
1
3
4 4
(1)计算P{X(0)=1,X(1)=2,X(2)=2},p12 (2)
(2)证明：P{X(1)=2,X(2)=2 X(0)=1}=p12 p22
(3)求P{X(1)=1,X(2)=2,X(3)=3}
例4 市场占有率预测
设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙3厂 家在该地销售。经调查，8月份买甲、乙、丙三厂 的户数分别为480，320，800。9月份里，原买甲的 有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的 有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的 有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。用状态1、 2、3分别表示甲、乙、丙三厂，试求
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q p 0 0 0 ...
P1
q 0
0 q
p 0
0 p
0 0
... ...
... ... ... ... ... ...
qp
0123 反 射 壁
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例3．一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一 个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是： 质点总是以概率p顺时针游动一格， 以概率
q 1 p 逆时针游动一格。试求转移概率 矩阵。 I {1, 2,..., N}
1
0
a 1
0
... 0
一步转移矩阵是
a
a
2
a2
0
0
... 0
P1 a
a
... ... ... ... ... ...
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0
...
0
0
...
0
a 1 a
0
1
a
0
1
0
练习题． 扔一颗色子，若前n次扔出的点数的最大值为j，
就说 Xn j, 试问 Xn j, 是否为马氏链？求一步转移概率矩
例2 赌徒输光问题
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赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进行 赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，直
赌至两人中有一人输光为止。设在每一局中，甲
获胜的概率为p，乙获胜的概率为 q 1 p ，
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
0 p 0 0 ... 0 q
q
0
p
0 ... 0
0
0 q 0 p ... 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 q 0 p
p 0 ... 0 0 q 0
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4．一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移 动的规则是：以概率p从i移到i-1，以概率q从i移到
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求 一步转移概率。
状态空间I={1，2，3，4，5}，
参数集T={1，2，3，………}，