图1 图2 图3
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是
）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由
图2
2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．
（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.
（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．
3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．
（1）求证：MN⊥CE；
（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论．
图1 图2 图3
（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是
在△EDM和△FBM中，DM＝MB ∠EMD＝∠FMB ME＝FM，∴△EDM ∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，∴∠FBC=∠EAC=90°，
解：（1）证明一：
延长DN交AC于F，连BF，∵N为CE中点，∴EN=CN，
∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，∴DE∥AC，∵EN=NC ∴△EDN≌△CFN，
∴DN=FN，FC=ED，∴MN是△BDF的中位线，∴MN∥BF，∵AE=DE，DE=CF，
∴AE=CF，∵∠EAD=∠BAC=45°，∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，CA＝BC ∠CAE＝∠BCF AE＝CF ∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF，∵∠ACE+∠BCE=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，即BF⊥CE，∵MN∥BF，∴MN⊥CE．
证明二：(如图) 证明三：（如图）
(2)证明一：
延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，
∵M为BD中点，∴MN是△BDG的中位线，∴BG=2MN，
在△EDN和?CGN中，DN＝NG ∠DNE＝∠GNC EN＝NC ∴△EDN≌△CGN（SAS），∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，∴DE∥CG，∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+30°+45°=120°，∴∠EAK=60°，∴∠CKE=∠KCG=30°，∴∠BCG=120°，
在△CAE和△BCG中，AC＝BC ∠CAE＝∠BCG AE＝CG
∴△CAE≌△BCG（SAS），∴BG=CE，∵BG=2MN，∴CE=2MN．
证明二：
9.重庆一中初2016九上期末如图1，在等腰中，，；在等腰中，
Rt ACB ∆90ACB ∠=︒AC BC =Rt DCE ∆，；
点、分别在边、上，连接、，点是线段的中点，连接90DCE ∠=︒CD CE =D E BC AC AD BE N BE 与交于点.
CN AD G （3）若，，求的值.
6.5CN =5CE =BD （4）求证：.
CN AD ⊥（3）把等腰绕点转至如图2位置，点是线段的中点，延长交于点，请问
Rt DCE ∆C N BE NC AD H （2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.
解：
(1)， ∴ ， 90ACB ∠=︒BN NE =226.513BN CN ==⨯=图2图1
11.(重庆实验外国语学校2015-2016学年度下期第一次月考)
已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰苴角三角形，∠AFE=90°，点M是CE的中点，连接DM.(1)如图1，当点
2
分别在AD、AC上时，若AD=4，EF=，求DM的长；(2)如图2，当点E在BA延长线上时，连接DF、FM，求证:DM=FM,DM ⊥FM；(3)如图3，当点E不在BA延长线上且点F在DE上时,过点A作AG⊥EC，垂足为G，连接FM，试探究DM与FM
系。