无穷级数1. 级数收敛充要条件：部分和存在且极值唯一，即：1lim n k n k S u ∞→∞==∑存在，称级数收敛。

2.若任意项级数1n n u ∞=∑收敛，1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑条件收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛，绝对收敛的级数一定条件收敛。

. 2. 任何级数收敛的必要条件是lim 0n n u →∞=3.若有两个级数1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑，11,n n n n u s v σ∞∞====∑∑则 ①1()n n n u v s σ∞=±=±∑，11n n n n u v s σ∞∞==⎛⎫⎛⎫⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑。

②1n n u ∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则1()n n n u v ∞=+∑发散。

③若二者都发散，则1()n n n u v ∞=+∑不确定，如()111, 1k k ∞∞==-∑∑发散，而()1110k ∞=-=∑收敛。

4．三个必须记住的常用于比较判敛的参考级数：a)b) P 级数：c) 对数级数：5.三个重要结论6．常用收敛快慢正整数由慢到快连续型由慢到快7.正项（不变号）级数敛散性的判据与常用技巧1.11,lim 1,lim 0)1,n n n n n n l u l l u l μμ+→∞→+∞⎧<⎪⎪=>≠⎨⎪=⎪⎩收发（实际上导致了单独讨论（当为连乘时）2. 1,1,1,n n l l l n l μ<⎧⎪=>⎨⎪=⎩收发（当为某次方时）单独讨论3.① 代数式 1111n n n n n n n n n n u v v u u v ∞∞∞∞====≤⇒⇒⇒∑∑∑∑收敛收敛，发散发散② 极限式 lim nn nu A v →∞=，其中：1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数。

1111111111• 0 • 0 • n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A u v u v v u u v A u v u kv u v A v u v u u v v u ∞∞∞∞====∞∞==∞∞∞∞=====→→<⇒⇒⇒≠→→=⇒=∞⇒→<⇒⇒⇒∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。

是的同阶无穷小和敛散性相同。

是的高阶无穷小收敛收敛，发散发散。

3211221~~111n n n n u n n n n ∞=++⎛⎫⇒==+ ⎪---⎝⎭，113220012210113n n n n dx u dx x x n ∞=⇒≤=≤=⨯++∑⎰⎰，也可选用基准级数3121n n ∞=∑就可知原级8、任意项级数的敛散性的判据与常用技巧● ①lim 0n n u →∞= ②1n n u u +≥⇒0(1)n n n u ∞=-∑收敛。

这是一个必要条件，如果①不满足，则0(1)nn n u ∞=-∑必发散，若只有②不满足，则不一定收敛还是发散，要使用绝对收敛判别其敛散性。

● 任意项级数判敛使用绝对值，使之转换为正项级数，即绝对收敛、条件收敛或发散。

● 任意项级数判敛的两个重要技巧：()a 微分积分法。

换成连续变量，再利用微积分相关定理与性质。

()b k 阶无穷小试探法。

在不能估计出通项的无穷小阶次时，使用该试探法，9.幂级数 00()n n n a x x ∞=-∑1．阿贝尔（Abel ）定理如果级数0nn n a x ∞=∑当20001 0, =00n n x x x x a x ∞=⎛⎫=≠⇒= ⎪⎝⎭∑因为显然收敛点收敛，则级数在圆域0x x <内绝对收敛；如果级数0n n n a x ∞=∑当1 x x =点发散，则级数在圆域1x x >外发散。

由阿贝尔（Abel ）定理可见收敛点集或发散点集是分别连接成对称连续区域，这一定理是引入幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域概念的理论依据。

注意，除()00 0x x x =≠外，该定理并没有完全保证圆上每一点的敛散性，正确理解阿贝尔定理是学好幂级数的关键。

如推论：如果0n n n a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得：1n n n x R x R x R x R R a x ∞=<>==-∑当 时，幂级数绝对收敛；当 时，幂级数发散；当 与时，幂级数可能收敛，也可能发散，我们称为的收敛半径。

10．幂级数收敛半径、收敛区间和收敛区域 已知00()n n n a x x ∞=-∑，若1limn n n na a ρρ+→∞==或1000+11lim1=lim n n n n n n a a x x x x x x R a a ρρ+→∞→∞-=-<⇒-<=收敛收敛。

●收敛半径R ：11lim , 000, nn n a a R R R x ρρρρ→∞+⎧=≠⎪⎪⎪==+∞⇒⎨⎪=⇒==+∞⎪⎪⎩全平面收敛, =0只有一个收敛点。

●收敛区间()00, x R x R -+：级数在()000, x x R x x R x R -<⇒∈-+收敛；幂级数的收敛区间是非空点集，对00()nn n a x x ∞=-∑至少在0x x =处收敛，对0n n n a x ∞=∑至少在0x =处收敛。

由阿贝尔定理可以推出：幂级数的条件收敛点只能位于收敛区间端点。

●收敛域：由于级数在收敛区间的端点上（收敛半径R 上）收敛性待定，故收敛域是()00, x R x R -+、[)00, x R x R -+、(]00, x R x R -+或[]00, x R x R -+四种情况之一。

3．在收敛区域内的性质 (1)nn n a x∞=∑的和函数()f x 连续并有任意阶导数；(2)0n ∞=∑可逐项微分 101'()()nn n n n n f x a x na x ∞∞-=='==∑∑(3)0n ∞=∑可逐项积分1()()1xxnn n n n n a f x dx a x dx x n ∞∞+====+∑∑⎰⎰ (4)nnn a x∞=∑绝对收敛。

11．利用泰勒公式可将常用初等函数展开成幂级数－泰勒级数展开的充要条件是泰勒公式中余项（包括拉氏余项，佩亚若余项）为零。

以下是几个常用的麦克劳林展开结论。

①11n n u u ∞==-∑ (1,1)u ∈-②1(1)1n n n u u ∞==-+∑ (1,1)u ∈- ③0!nun u e n ∞==∑ (,)u ∈-∞+∞④21sin (1)(21)!n nn u u n +∞==-+∑ (,)u ∈-∞+∞⑤21cos (1)(2)!n nn u u n +∞==-∑ (,)u ∈-∞+∞⑥1111(1)ln(1)(1)ln 2n n n n n u u n n -∞∞-==-+=-⇒=∑∑(1,1]u ∈- ⑦0(1)(1)(1)!nnn n n n u u C u n ααααα∞∞==-⋅⋅⋅-++==∑∑ (1,1)u ∈- ⑧21301tan 213n n u u u u n +∞===+++∑… ⑨2130(1)1arctan 213n n n u u u u n +∞=-==-++∑… [1,1]u ∈-5. 幂级数求和方法 ● 函数项级数求和方法一般先求收敛域，然后逐次积分或微分，利用上述10各泰勒级数结论进行零部件组装 ● 数项级数求和方法构造辅助幂级数法。

付立叶级数1．周期函数展开成付里叶级数•()f x 为在[], l l -上周期为2l 的周期函数，则011()cos ()(cos sin ), 12()sin l n l n n l n n l n a f x xdx a n n l l f x a x b x n l l b f x xdx l l ππππ∞-=-⎧=⎪⎪=++⎨⎪=⎪⎩⎰∑⎰其中 •特别地，当l π=时011()cos ()(cos sin ) 12()sin n n n n n a f x nxdx a f x a nx b nx b f x nxdx ππππππ∞-=-⎧=⎪⎪=++⎨⎪=⎪⎩⎰∑⎰其中• 当()f x 是偶函数00100112()cos ()cos 212()cos ()cos 2l n n n n n n n x n x f x a a a f x dxl l l l f x a a nx a f x nxdxπππππ∞=∞==+==⇒=+=∑⎰∑⎰ • 当()f x 是奇函数0112()sin()sin 2()sin ()sin l n n n n n n n x n xf x b b f x dxl l ll f x b nx b f x nxdxπππππ∞=∞====⇒==∑⎰∑⎰2．非周期函数展开成付里叶级数方法如果非周期函数()f x 只是定义在区间[][]0, 0, l π 或 ，两种区间可以令t x lπ=相互转换，为了利用付里叶级数展开，必须将()f x 拓展，其方式有两种，即：（1）偶拓展 令 () 0()()0f x x lF x f x l x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，使()F x 成为[], l l -上的周期偶函数，展开后取0x l ≤≤上的函数值即为()f x 的付里叶展开。

（2）奇拓展 令 () 0()()0f x x lF x f x l x ≤≤⎧=⎨---≤<⎩，使()F x 成为[], l l -上的周期奇函数，展开后取0x l ≤≤上的函数值即为()f x 的付里叶展开。

3．狄利克雷收敛定理设函数()f x 在[], l l -上连续或只有有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则()f x 的付里叶级数收敛。

并且：()()()()()()01, 00(cos sin ) 2200 2n n n f x x f x f x a S x a nx b nx x f l f l x l ∞=⎧⎪⎪-++⎪=++=⎨⎪⎪-++=±⎪⎩∑当为连续点，当为第一类间断点，当为区端点。