→ Bx
D
，故OE= 。
练习8 如图，在直角三角形ABC中， C ∠C=90º ，沿着B点的一条直线BE折 叠这个三角形，使C点与AB边上的 一点D重合。当∠A满足什么条件时， 点D恰好是AB的中点？写出一个你 B 认为适当的条件，并利用此条件证 明D为AB中点。 条件：∠A=30º
E D A
证明：由轴对称可得，△BCE≌△BDE，∴ BC=BD ， 在△ABC中，∵ ∠C=90º，∠A=30º， ∴ BC= ∴ BD =
答案：矩形的长为10，宽为8。
D F E A
C
B
4、求线段与面积间的变化关系
例5 已知一三角形纸片ABC，面积为25，BC的长为 10，B和C都为锐角，M为AB上的一动点(M与A、B 不重合)，过点M作MN∥BC，交AC于点N，设MN=x. (1)用x表示△AMN的面积SΔ AMN。 (2)Δ AMN沿MN折叠，设点A关于Δ AMN对称的点为A¹ ， Δ A¹ MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y.①试求出 y与x的函数关系式，并写出自变量X的取值范围； ②当x为何值时，重叠部分的面积y最大，最大为多 少？
矩形的折叠问题
（复习课）
练习1 如图，有一块直角三角形纸片，两 直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿 直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE 重合，求CD
A E C B D
如图，折叠矩形的一边AD，点D 落在BC边上点F处，已知AB=8， BC=10，求EC的长 D A
E B F C
练习2 如图，在梯形ABCD中， DCAB，将梯形对折，使点D、 C分别落在AB上的D¹ 、C¹ 处， 折痕为EF。若CD=3，EF=4， 则AD¹ +BC¹ = 。
A B G D'
F E C'
D C
练习4 如图，矩形ABCD沿 BE折叠，使点C落在AD边上 的F点处，如果ABF=60º ， 则CBE等于（ A ）。 (A)15º (B)30º (C )45º (D)60º
B
C E
A
F D
3、求图形的全等、相似和图形的周长
例4 如图，折叠矩形ABCD一边AD，A 使点D落在BC边的一点F处，已知折 痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4. (1)求证：AFB∽FEC； B (2)求矩形ABCD的周长。
D E F C
练习5 如图，将矩形纸片ABCD 沿一对角线BD折叠一次（折痕 与折叠后得到的图形用虚线表 示），将得到的所有的全等三角 形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
E A F B C D
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， 若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时， AE:ED=5:3，BE=55，求矩形 的长和宽。
½
AB ，
½ AB ，即点D为AB的中点。
1、如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落 在BC边上的F点处。
（1）若∠BAF＝60°，求∠EAF的度数； （2）若AB＝6cm， AD＝10cm， 求线段CE的 长及△AEF的 面积.
2、如图，矩形纸片ABCD中，现将A、C重合，使
纸片折叠压平，设折痕为EF。
A E
D G N C
B
A E
D G N C
M O ， F . B
作NF⊥AB于F，则有Rt△MNF≌ ,∴FM=AE=x,从 而CN=BM-FM= = 。∴S梯形BCNM= 。 =½(x-a/2)2+3/8 a2 . ∴当x=a∕2 时，Smin=(3∕8 )a2.
二、在“位置”方面的应用
由于图形折叠后，点、线、面等相应的位置 发生变化，带来图形间的位置关系重新组合。 1、线段与线段的位置关系
↑y
A O D C
→ Bx
↑y 解由题意知，OA=3，∠OAB=60º ， A
∴OB=3tan60º =3√3 . ∵Rt△ACB≌Rt△ADB, ∴AD=AC=OB=3√3 . 过点D作Y轴垂线，垂足为E， 在直角三角形AED中，ED= ，AE= 故点D的坐标为（3/2√3 ，- 3/2）。
C
O E
D E A D'
C F B C'
C B' N D
练习3 如图，将矩形ABCD纸片 对折，设折痕为MN，再把B点叠 在折痕线MN上，若AB=3，则 折痕AE的长为（ ）。 (A) 33/2 (B) 33/4 (C ) 2 (D) 23
B E MG A
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， 沿EF折成如图所示；已知 EFG=55º ，则FGE= 70º。
（1）连结CF，四边形AECF是 什么特殊的四边形？为什么？ （2）若AB＝4cm，AD＝8cm， 你能求出线段BE及折痕EF的 长吗？
B
E A
G F
D
C
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （1）求对角线OB所在直线的解析式；
y
C
BO练习7Fra bibliotek如图，把一张边长为a的正 方形的纸进行折叠，使B点落在AD M 上，问B点落在AD的什么位置时， 折起的面积最小，并求出这最小值。
解： 如图，设MN为折痕，折起部 分为梯形EGNM，B、E关于MN对 称，所以BE⊥MN，且BO=EO，设 AE=x，则BE= 。 由Rt△MOB∽ ∴BM= = ，得： =
例6 将长方形ABCD的纸片， 沿EF折成如图所示，延长C`E 交AD于H，连结GH。求证： EF与GH互相垂直平分。
A B G D'
F
H E
D C
。
证明：由题意知FH∥GE，FG∥HE，∴ C' 又 ， ∴四边形 是
，∴FE与GH互相垂直平分。
2、点的位置的确定
例7 已知：如图，矩形AOBC， 以O为坐标原点，OB、OA分别 在x轴，y轴上，点A坐标为(0,3)， ∠OAB=60º ，以AB为轴对折后， 使C点落在D点处，求D点坐标。
A
x
3、在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、 OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。 （2）如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到 △OBN，ON与AB交于点M。 ① 判断△OBM是什么三角形，并说明理由； ② 试求直线MN的解析式.
B
y
C
O
A
x