这里Σ代表求和，l为控制点的个数，将上式以矩阵形式记为： 这里Σ代表求和， 为控制点的个数，将上式以矩阵形式记为： AU1 = B1 这里 同样，可以列出以y为主的矩阵形式: 同样，可以列出以y为主的矩阵形式: AU2 = B2
解方程组 AU1 = B1 和 AU2 = B2 ，可以得到U1 和U2 ，于是得出 可以得到U 二元二次多项式的12个系数。 12个系数 二元二次多项式的12个系数。 系数确定后，利用式 系数确定后，
双线性内插仅考虑待采样点周围4个单元的对插值的影响。 双线性内插仅考虑待采样点周围 个单元的对插值的影响。而实际 个单元的对插值的影响 上周围其它单元对待插点的数值都有一定的贡献(影响 影响)， 上周围其它单元对待插点的数值都有一定的贡献 影响 ，只是随着 距离的增大而贡献减小。这种情况一般用辛克函数表示。 距离的增大而贡献减小。这种情况一般用辛克函数表示。 1 - 2x2 + |x3| sinc(x) ≅ 4 - 8|x| + 5x2 - |x3| 0 |x|<1 1<=|x|<2 |x|>=2
②确定校正 通常有三种方法： 最近邻法，双向线性内插法 (x,y)的亮度。 通常有三种方法： 最近邻法， 的亮度 和三次卷积内插法。 和三次卷积内插法。
双线性插值(Bi-Linenr Interpolation) 双线性插值
左图为TIN中的三角形插值，右图为GRID中的矩形插值 中的三角形插值，右图为 左图为 中的三角形插值 中的矩形插值 均依照线性变化的关系， 中先计算三角形中的D、 点的值 点的值V 均依照线性变化的关系，TIN中先计算三角形中的 、E点的值 d和 中先计算三角形中的 Ve，再由 d和Ve计算 p; GRID中先计算矩形形中的 、F点的值 e 再由V 计算V 中先计算矩形形中的E、 点的值 点的值V 中先计算矩形形中的 再由V 计算V 和Vf，再由 e和Vf计算 p Ve = Vb * a_e + Va * (1 - a_e) 其中 a_e = AE / AB Vf = Vd * c_f + Vc * (1 - c_f) 其中 c_f = CF / CD V = Vf * e_p + Ve * (1-e_p) 其中 e_p = EP / EF 针对GRID，除双线性插值外，常用的插值方法还有最近邻 针对 ，除双线性插值外，常用的插值方法还有最近邻 (Nearest Neighbourhood)插值和双立方卷积 插值和 插值 双立方卷积(Bi-Cubic Convolusion)插值 插值
表示为二元n次多项式： 通常数学关系 表示为二元n次多项式：
实际计算时常采用二元二次多项式，其展开式为： 实际计算时常采用二元二次多项式，其展开式为：
为了通过(u,v)找到对应的 找到对应的(x,y)，首先必须计算出上式中的 个 为了通过 找到对应的 ，首先必须计算出上式中的12个 个系数必须至少列出12个方程 系数。由线性理论知， 个系数必须至少列出 个方程， 系数。由线性理论知，求12个系数必须至少列出 个方程，即找到 6个已知的对应点，也就是这 个点对应的 个已知的对应点， 个点对应的(u,v)和(x,y)均为已知。 均为已知。 个已知的对应点 也就是这6个点对应的 和 均为已知 故称这些已知坐标的对应点为控制点。然后通过这些控制点， 故称这些已知坐标的对应点为控制点。然后通过这些控制点，解方 程组，求出6个 和 个 系数值 系数值。 程组，求出 个a和6个b系数值。 实际工作中发现， 实际工作中发现，6个控制点只是解线性方程所需的理论最低 这样少的控制点使校正后的图像效果很差， 数，这样少的控制点使校正后的图像效果很差，因此还需要大大增 加控制点的数目，以提高校正的精度。控制点增加后，计算方法也 加控制点的数目，以提高校正的精度。控制点增加后， 有所改变，需采用最小二乘法， 有所改变，需采用最小二乘法，通过对控制点数据进行曲面拟合来 求系数。仍以二元二次多项式为例，上面的方程组变为： 求系数。仍以二元二次多项式为例，上面的方程组变为：
三、栅格图像的地理坐标编码
或地理坐标)之 建立栅格图像像元行列坐标与大地坐标 (或地理坐标 之 或地理坐标 间的对应关系，使栅格图像包含有效的大地坐标(或地理 间的对应关系，使栅格图像包含有效的大地坐标 或地理 坐标)信息 编码后的栅格图像， 信息。 坐标 信息。编码后的栅格图像，每个像元都具有实际的 大地坐标数值。 大地坐标数值。 栅格图像所反映的对象，是以空间单元来组织和表述的， 栅格图像所反映的对象，是以空间单元来组织和表述的， 不直接包含地理坐标，仅有单元(像元 的行列序号。 像元)的行列序号 不直接包含地理坐标，仅有单元 像元 的行列序号。要反 映地理位置，与其它数据源进行地图匹配， 映地理位置，与其它数据源进行地图匹配，就必须给图像 加上地理坐标信息---进行地理坐标编码 进行地理坐标编码： 加上地理坐标信息 进行地理坐标编码：即建立图像像元 行列值(col,row)与地理坐标 与地理坐标(X,Y)之间的一一对应关系。 之间的一一对应关系。 行列值 与地理坐标 之间的一一对应关系 栅格图像一旦具有地理坐标的编码信息， 栅格图像一旦具有地理坐标的编码信息，其任何一个像 元的地理坐标都可依据(col,row) (X,Y)这个对应关系 元的地理坐标都可依据 这个对应关系 准确求得；同样，对一个给定的地理坐标， 准确求得；同样，对一个给定的地理坐标，亦可计算出与 其对应的图像像元。 其对应的图像像元。
未校正图像(左图 未校正图像 左图) 左图 行列定位 按地形图校正的图像 (下图 可按坐标值定位 下图)可按坐标值定位 下图
校正后， 校正后， 图像方向改变 像元大小改变 起始行列改变
2、拟合对应关系
根据选取的控制点(对应点)的坐标(行列坐标与地理 根据选取的控制点(对应点)的坐标( 坐标) 建立变形空间 原空间) 标准空间(新空间) 变形空间( 坐标)值，建立变形空间(原空间)与标准空间(新空间)之 间的转换关系 可以是整体转换， 可以是整体转换，也可以是分块转换 最简单常见的对应关系是二元多项式： 最简单常见的对应关系是二元多项式： ①建立两图像像元点之间的对应关系，记作： 建立两图像像元点之间的对应关系，记作：
便可以根据每一个像元点的行列值(u,v)， 便可以根据每一个像元点的行列值(u,v)，求出所对应的原图像对 (u,v) 应的(x,y)位置。 (x,y)位置 应的(x,y)位置。
二元n次多项式拟合时，控制点最少数目Num为 二元n次多项式拟合时，控制点最少数目Num为： Num Num >= (n+1)*(n+2)/2
精度评估
通过计算均方根误差(root-mean-square error, RMSerror)， 通过计算均方根误差 ， 对两个空间之间的位置对应关系拟合函数进行评估。 对两个空间之间的位置对应关系拟合函数进行评估。
一般要求 RMS <= 1 Pixel
其它对 应关系
如有限元、 如有限元、 分片光滑 曲面等。 曲面等。
①找到一种数学关系，建立变换前图像坐标(x,y)与变换后图像坐 找到一种数学关系，建立变换前图像坐标(x,y)与变换后图像坐 (x,y) (u,v)的关系 通过每一个变换后图像像元的中心位置(u 的关系， (u代表行 标(u,v)的关系，通过每一个变换后图像像元的中心位置(u代表行 代表列数，均为整数)计算出变换前对应的图像坐标点(x,y) (x,y)。 数，v代表列数，均为整数)计算出变换前对应的图像坐标点(x,y)。 分析得知，整数(u,v) (u,v)的像元点在原图像坐标系中一般不在整数 分析得知，整数(u,v)的像元点在原图像坐标系中一般不在整数 (x,y)点上，即不在原图像像元的中心。 (x,y)点上，即不在原图像像元的中心。 点上 计算校正后图像中的每一点所对应原图中的位置(x,y)。 计算校正后图像中的每一点所对应原图中的位置(x,y)。计算 (x,y) 时按行逐点计算，每行结束后进人下一行计算，直到全图结束。 时按行逐点计算，每行结束后进人下一行计算，直到全图结束。 ②计算每一点的亮度值。由于计算后的(x,y)多数不在原图的像元 计算每一点的亮度值。由于计算后的(x,y)多数不在原图的像元 (x,y) 中心处，因此必须重新计算新位置的亮度值。一般来说，新点的亮 中心处，因此必须重新计算新位置的亮度值。一般来说， 度值介于邻点亮度值之间，所以常用内插法计算。 度值介于邻点亮度值之间，所以常用内插法计算。
I13 I23 I33 I43
I14 I24 * WY I34 I44
WX 和WY为两个方向的权系数
3、按对应关系转换原图像至标准空间
----由原图像行列直接 ●转换可以采用直接法----由原图像行列直接 计算其对应在新空间中的位置并赋值。 计算其对应在新空间中的位置并赋值。
---依标准空间中的像元中心 ●也可采用间接法---依标准空间中的像元中心 位置为准，计算对应于原图像空间中的位置， 位置为准，计算对应于原图像空间中的位置，再 以该位置在原图像中重采样亮度数值， 以该位置在原图像中重采样亮度数值，作为标准 空间中的像元亮度值。 空间中的像元亮度值。
栅格图像配准
教学目的： 教学目的：
了解图像的定位特征， 了解图像的定位特征，掌握并理解图像的配准
教学要求： 教学要求：
了解图像的定位特征；理解图像配准的概念； 了解图像的定位特征；理解图像配准的概念； 理解栅格图像地理坐标编码的概念； 理解栅格图像地理坐标编码的概念； 掌握图像配准和地理坐标编码的方法
即由变形空间(原空间)转换为标准空间(新空间，通常 即由变形空间(原空间)转换为标准空间(新空间， 是地形图空间) 是地形图空间)
步骤： 步骤： 1、选取控制点 2、拟合对应关系 3、按对应关系转换原图像至标准空间
----对应点 对应点， 1、选取控制点----对应点，在两个空间均有明显特 征，易于选取，并且能够准确定位。遥感图像精校正中称 易于选取，并且能够准确定位。 为地面控制点(ground control point,GCP)。 为地面控制点 。