雅礼中学2019届高三月考试卷(三)
数学(理科)
命题人：李云皇 审题人：雅礼中学高三数学备课组
得分：___________
本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第I 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集I 是实数集R ，{}()(){}
3,310M x x N x x x =≥=--≤都是I 的子集(如图所示)，则阴影部分所表示的集合为
A. {}
13x x << B ．{}
13x x ≤< C ．{}13x x <≤
D ．{}
13x x ≤≤
2．设()1+1i x yi =+，其中,x y 是实数，则x yi +=
A.1
B
C.
D ．2
3．已知命题p ：函数12x y a +=-的图象恒过定点(1，2)；命题q ：若函数()1y f x =-为偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是 A. p q ∨
B ．p q ∧
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∨⌝
4．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是
A.56
B ．60
C ．120
D ．140
5．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①()sin f x x =；②()cos f x x =；③()1
f x x
=
；④()2.f x x =则输出的函数是
A. ()sin f x x =
B. ()cos f x x =
C. ()1f x x
=
D. ()2f x x =
6．若变量,x y 满足22
2,239,0,x y x y x y x +≤⎧⎪-≤+⎨⎪≥⎩
则的最大值是
A.4 B ．9 C.10 D ．12 7．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.则下列说法错误．．的是 A. 此人第二天走了九十六里路
B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C ．此人第三天走的路程占全程的
18
D ．此人后三天共走了42里路
8．如图，下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中12F F ，为焦点．设图①②③中双曲线的离心率分别为123,,e e e ，则
A. 123e e e >>
B. 321e e e >>
C. 213e e e >=
D. 132e e e =>
9．已知△ABC 是边长为4的等边三角形，P 为△ABC 内一点，则()
PA PB PC ⋅+的最小值为 A. 3-
B ．6-
C ．2-
D ．8
3
-
10．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为 A.
92
B ．4
C ．3
D.
11．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆222:430C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则
9PN QM +的最小值为
A.36 B ．42 C.49
D ．50
12．已知函数()2
3
2
36,0,
34,0,
x x x f x A x x x ⎧-+≥⎪==⎨--+<⎪⎩设()({}
0x Z x f x a ∈-≥，若A 中有且仅有4个元素，则满足条件的整数a 的个数为
A.31 B ．32 C.33
D.34
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和．若2
12593,10a a S a +=-=，则的值是
___________．
14．定义在区间[]03π，上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是___________．
15．若直线1ax by +=(,a b 都是正实数)与圆2
2
1x y +=相交于A ，B 两点，当△AOB(O 是坐标原点)的面积最大时，a b +的最大值为________．
16．如右图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，作以A 为顶点，分别以AB ，AD ，AA 1为轴，底面圆半径为
()01r r <≤的圆锥．当半径r 变化时，正方体挖去三个1
4
圆锥
部分后，余下的几何体的表面积的最小值是__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：60分． 17．(本小题满分12分)
已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为,,,a b c ABC ∆的面积S 满足
222
a b c =+-． (1)求角C 的值；
(2)求()cos2cos A A B +-的取值范围．
18.(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AD=2BC=2，∠BAD=∠ABC= 90°． (1)证明：PC BC ⊥；
(2)若直线PC 与平面PAD 所成角为30°，求二面角B —PC —D 的余弦值．
已知椭圆
22
1
24
x y
+=两焦点分别为
12
,
F F P
、是椭圆在第一象限弧上一点，并满足
121
PF PF=，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点．
(1)求P点坐标；
(2)求证：直线AB的斜率为定值；
(3)求△PAB面积的最大值．
十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国．根据环保部门对某河流的每年污水排放量X(单位：吨)的历史统计数据，得到如下频率分布表：
将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立． (1)求在未来3年里，至多1年污水排放量[)270310X ∈，的概率；
(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当[)2300X ∈，27时，没有影响；当
[)270310X ∈，时，经济损失为10万元；当X ∈[310，350)时，经济损失为60万元．为
减少损失，现有三种应对方案：
方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元； 方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元； 方案三：不采取措施．
试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由．
已知函数()()28ln f x x x a x a R =-+∈． (1)当1x =时，()f x 取得极值，求a 的． (2)当函数
()f x 有两个极值点()12121
,1x x x x x <≠，且时，总有()()21
111
ln 2431a x m x x x >-+--成立，求m 的取值范围．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线22:sin 4cos C ρθθ=.以极点为坐标原点，
极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C
的参数方程为12,2x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)
(1)求12,C C 的直角坐标方程；
(2)C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为P ，Q ，R ，S ，求PQ RS -的值.
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()243f x x a x =-++． (1)若2a =时，解不等式：()22f x >；
(2)对任意实数x ，不等式()34f x a ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．。