t11rtt11rxqtt
t
c t t
cr t t
1vrt
crt
式中 v x qt/t是粒子在时刻t 的速度. 由上式解得
t t
rrvr
1v1eR
c
c
因此
t1r1r 1rtt
c
c
c t常数 t
r vrt
cr cr
由此解出
t r eR
crvr c1veR
c c
2. 偶极辐射
先研究v<<c的情形. 在此情形下
r x x q t c t t
为了计算带电粒子激发的势, 我们把粒子看作在小体积
内电荷连续分布的极限. 可知, 推迟势的一般公式为
x,t
x,t r
cdV
4π0r
把势对场点空时坐标 x和t求导数可得电磁场强. 由
ttrt xxqt2
c
c
此式给出t 为 x和t的隐函数. 因此先求t /t和t
第七章
带电粒子和电磁 场的相互作用
§7.1 运动带电粒子的势和辐射电磁场
内容概要
1. 任意运动带电粒子的势 2. 偶极辐射 *3. 任意运动带电粒子的电磁场
1. 任意运动带电粒子的势
矢为在x外x力q作t,用我下们, 要带计电算粒这子个沿运一动特带定电轨粒道子运所动激, 设发其的位
电磁势.
粒子与场点的距离为
r
2
3
t
t
第一项是静电荷的库仑场, 库仑场与r2成反比, 它存 在于粒子附近, 当r大时可以略去.
第二项是横向的, 且当r→∞时与r一次方成反比, 这 项是辐射场.
略去库仑场后, 得低速运动粒子当有加速度v时激发的
辐射电磁场：
E
q
4π0c2r
eR
eR
v
B
q
4π0c3r
v eR
1 c
eR
t 1 , tr eR
t
cr c
把势A和的公式对时空坐标微分后再令v→0, 得
B A A
t A
t 常数 t
右边第一项为
qv r
4π0c2r3
它与r2成反比. 右边第二项为与r成反比的辐射场:
B E
4 4
ππcrqqrAtrr00rr334πq440vππcq2rq00vcc422πrr4q3π0vqrcvcr20rrcr43rrπq24vvπ0qcrrr0
辐射场与加速度 v成正比. 当带电粒子受 到 向加 的速 ，时即，E和就B有都电与磁eR波垂辐直射，.并辐且射B和场是E互横 相垂直. 此外，辐射场与r成反比，能流与 r2 成反比，因而总辐射能量可以传播到任 意远处.
作洛伦兹变换，可以得到任意运动速度下 带电粒子激发的电磁场. 这电磁场同样分为两部 分. 一部分是由库仑场作洛伦兹变换而得的；另
一部分是和加速度 v 有关的辐射场.
下面用李纳-维谢尔势直接计算运动带电粒子 的辐射电磁场.
求辐射场时，注意凡是对含 r或 r的因子求微
商时，结果都使分母的r幂次增加，但通过 v(t')对 变量t 求微商时不会增加分母的r幂次. 因此，在只
保留1/r最低次项时，只需通过 v对t 求导数.
令 得
s r vr c
t' t'4πq 0c2s3 v .r r
沿r方向
A t A t 'tt ' 4 π q 0 v c 2 s 4 π q 0 v c 3 s 2(v r )r r s
E
令 pqxq为带电粒子的电偶极矩. 因此,低速运动带电
粒子当加速时激发电偶极辐射
辐射能流为 辐射功率为
P S 1S π 6eq 2R 2r0 vc2d 3rΩ 2si62q π n 2 v0 ec 2R3
*3. 任意运动带电粒子的电磁场
前面：我们导出v 0情形下加速运动带电粒 子的电磁场. 电磁场分两部分. 一部分是库仑场，另 一部分是和加速度有关的辐射场.
E
44ππqq00cc22rs3Aterr41πerrvq0cv2cevcsrr33rvvv
r
rsv
rv
c
r
v

B A t ' A c r A r A
t' c s t' c r t
由于 沿r方向，r 0，因此由上式得
B c r r A t 1 ce rE