图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式：
(2.2.18) • 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。 3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
如果存在四元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，使
(2.2.5)
成立,则称 为随机过程的二维概率密 度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足 (2.2.6)
§2.3
平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义
• 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察 点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机 信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯 随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数
在固定的时刻， 为常数。 是随机变量A的 线性变化，仍为高斯分布。当 变化时， 的数学期望 和方差 均与时间有关。 因此，一维概率密度函数也与时间有关， 不是严平稳过程。
2.3.5 宽平稳随机过程
满足 (2.3.7)
则称
为宽平稳随机过程或广义平稳过程。
2、主要性质 (1) 随机信号的严格平稳性与广义平稳性之间 有关系 必然是 严格平稳 广义平稳 随机过程 随机过程 不一定是 (2) 广义平稳随机过程的相关函数卷积共轭的， 即 (2.3.8) 证明
(3)随机过程的协方差函数和相关系数也是平 稳的，即 (2.3.9) (2.3.10)
在区间
均匀分布)
所以
则方差
那么，自相关函数
例2.5 试证明: (1)若随机过程 加上确定的 时间函数 ，则协方差不变。(2) 若随机过 程 乘以非随机过程因子 ，则协方差函数 乘以积 。 证： (1) 设 ，即需证 。 因为
而中心化随机函数为
所以
故得证。 (2)设 ，即要证 因为 而中心化随机函数为
第二章
主要内容
随机过程
1、随机过程的基本概念 2、随机过程的统计特性 3、平稳随机过程 4、随机过程的各态历经性 5、平稳随机过程自相关函数的性质 6、随机过程的联合概率分布和互相关函数 7、正态随机过程
§2.1
2.1.1
随机过程的概念
随机过程的定义
例2.1 设有n台性能完全相同的雷达接收 机，它们工作的条件也完全相同，图2－1 是运用n台示波器记录的各接收机输出的噪 声电压。它们是n条噪声电压－时间的函数。 从中可看出，在相同条件下，雷达接收机 输出的噪声波形是不相同的。
决定随机信号的主 要物理条件不变
3、主要性质 (1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概 率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数
得证。
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
证明： 根据题意有 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4)
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
图2-2-2 随机过程的数学期望
2、均方值 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量 ，随机过程的均方值 或 ，即
(2.2.16) 均方值 的取值与时刻 是有直接联系的，是时 刻 的函数。
3、方差 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量，称随机变量 的二阶中心矩为随机过 程的方差 。
(2.2.17)
贝努里随机过程的二维概率分布函数是
(2.2.11) 其中， 是二维单位阶跃函数。 (2.2.12) 那么二维概率密度函数
(2.2.13)
式中，
2.2.2、随机过程的数字特征
(2.2.14)
• 随机过程的分布函数在实际上是很难获取的， 甚至是不可能的。 • 随机过程（信号）的特征（或参数）在实际 工作中运用得十分广泛。
(1) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。 (2) 复杂背景下目标识别、跟踪所依赖的有效依据 仍然是目标在时间、空间的特征。
图2-2-1 云层背景下的飞机
• 由随机过程的定义2，可知随机过程是随机 变量集合：
1、数学期望(均值函数) 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量 ，随机过程 的数学期望 或 ， 即 (2.2.15) 数学期望 的取值与时刻 是有直接联系 的，是时刻 的函数。它是该随机过程在各 个时刻的摆动中心。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
•采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述 随机过程的起伏程度。
4、自相关函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的 状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过 程 的自相关函数，记为 (2.2.19)
自相关函数反映了随机过程 在两个不同时 刻的状态之间的相关程度。
5、自协方差函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的 状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过 程 的自相关函数，记为 (2.2.20)
自协方差函数反映了随机过程 在两个不同 时刻的状态相对于数学均值之间的相关程 度。
• 自协方差函数、自相关函数与数学均值有数 学关系式：
(2.2.20)
• 自相关系数
(2.2.21) (2.2.22) 在 ， 。
• 随机过程统计不相关 如果对于任意的 ， 都有 ，则称 该随机过程在任意两个时刻是不相关的。
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。 随机事件：
发生概率：
， 和
，
，
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的 二元函数，记为： (2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。 2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3)
注：1、二维概率分布反映了随机过程在不 同时刻的状态之间的统计特性； 2、随机过程的二维概率分布与多维随 机变量的二维概率分布所描述的物理概念 是不相同的。随机过程的二维概率分布描 述随机过程在不同时刻的状态之间的关系， 二维随机变量的二维概率分布则描述不同 变量之间的关系。
5、n维分布函数和概率密度函数 例2.2 讨论贝努里随机过程 特性。 的一、二维概率
解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地观 察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函 数 且有概率 (2.2.7)
设 ，单位步函数（阶跃函数） 贝努里随机过程的一维概率分布函数 (2.2.8) 一维概率密度函数 (2.2.9) 贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其 随机变量 是彼此统计独立的。因此， 可得 (2.2.10)
证明： 根据题意，则随机过程的自相关函数
(2.3.6)
式中， 。
例2.7 设有随机过程 任意时刻的随机变量是 高斯的，有概率密度函数
若其任意观察时刻组的随机变量是相互独立 的，试判断 是否为严平稳过程。 解：在任意n个时刻 ，随机过程的n 个随机变量是相互独立的，即
显然， 的任意n阶概率密度函数对观察点 时刻组 是平稳的。所以 是严平稳 随机过程。
所以
故得证。
例2.6 求贝努里随机过程 的均值、自相关 函数、协方差函数和相关系数。
解 贝努里随机过程 在不同时刻 的均值
，信号取值独立，则有
而在同一时刻 ，信号取值不独立，即取 相同的值，则有
因此，自相关函数为
贝努里随机过程
的协方差函数
贝努里随机过程
的相关系数
图2-2-4 贝努里随机过程的均值，相关函数和自相关系数 (a)均值(b)相关与协方差函数(c)自相关系数
图2-1-1 噪声电压的输出波形
定义1 设随机试验E的样本空间为 ，如果 对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定 一时间t的函数 (T是时间t的变化范 围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说， 就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为 随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个 函数称为该随机过程的样本函数。 注：随机过程是样本函数的集合 。
例2-9 判断以下三个随机过程是否平稳？
式中， 是常数， 是相互独立的随机变 量。随机过程 在上 均匀分布。
相位
振幅
振幅、相位、频率
解：(1)当幅度为常数， 在 上均匀分布时， 数学期望和自相关函数分别为
因此，X(t) 为广义平稳过程。 (2) 当幅度为随机变量，相位为常数时，那 么每个样本函数的幅度都是随机变量A的一 个可能取值，但它们同时到达零点或最大， 均值和方差随时间变化。因此它是一个非平 稳随机过程。
证明： 根据题意有
• 严平稳随机过程的所有样本曲线都是在同 一水平直线周围随机地波动。
图2-3-6
严平稳随机过程
(3) 严平稳随机过程 的二维概率密度函数只 与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时 间起点无关。 证明： 令 度函数 ，则随机过程的二维概率密
(2.3.5)