2020高三数学培优专练1：函数的图像与性质例1：对于函数()f x ，若a ∀，b ，c ∈R ，都有()f a ，()f b ，()f c 为某一三角形的三条边，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e t f x e +=+（e为自然对数的底数）是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题意可得：()()()f a f b f c +>，对a ∀，b ，c ∈R 恒成立，1()111x x xe t tf x e e +-==+++，当10t -=时，()1f x =，()()()1f a f b f c ===，满足条件， 当10t ->时，()f x 在R 上单调递减，∴1()11f a t t <<+-=， 同理：1()f b t <<，1()f c t <<，∵()()()f a f b f c +>，所以2t ≥，∴12t <≤． 当10t -<时，()f x 在R 上单调递增，∴()1t f a <<， 同理：()1t f b <<，()1t f c <<，∴21t ≥，12t ≥．∴112t ≤<． 综上可得：实数t 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．培优一 函数的图象与性质一、函数的单调性二、函数的奇偶性和对称性例2：设函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2x f x g x +=，若对[1,2]x ∈， 不等式()(2)0af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞ B ．)22,⎡-+∞⎣C ．17,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．257,60⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】∵()f x 为定义在R 上的奇函数，()g x 为定义在R 上的偶函数， ∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=，又∵由()()2x f x g x +=，结合()()()()2x f x g x f x g x --+-=-+=， ∴1()(22)2x x f x -=-，1()(22)2x x g x -=+， 又由()(2)0af x g x +≥，可得221(22)(22)022x x x x a ---++≥， ∵12x ≤≤，∴3152224x x -≤-≤， 令22x x t -=-，则0t >，将不等式整理即得：2a t t ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭． ∵31524t ≤≤，∴172257660t t ≤+≤，∴176a ≥-．故选C ．例3：定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，当[0,2)x ∈时，2()48f x x x =-+．若在 区间[,]a b 上，存在(3)m m ≥个不同的整数i x （1i =，2，L ，m ），满足111()()72m i i i f x f x -+=-≥∑，则b a -的最小值为（ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】D三、函数的周期性【解析】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，可得()f x 关于直线2x =对称， 且(4)()()f x f x f x +=-=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，∴()f x 的周期为8． 函数()f x 的图象如下：比如，当不同整数i x 分别为1-，1，2，3，5，L 时，b a -取最小值， ∵(1)4f -=-，(1)4f =，(2)0f =，7231812⨯=，则b a -的最小值为18，故选D ．例4：已知()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =+，且当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增， 则不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为（ ）A ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．(,3)-∞-C ．(,3)-∞-D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意，函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且2()()g x f x x =+，则22()()()()()g x f x x f x x g x -=-+-=+=，所以函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称， 当(,0]x ∈-∞时，()g x 单调递增，所以当(0,)x ∈+∞时函数()g x 单调递减， 又由22(1)(1)(1)(1)21g x f x x f x x x +=+++=++++，22(2)(2)(2)(2)44g x f x x f x x x +=+++=++++，所以不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+等价于(1)(2)g x g x +>+，四、函数性质的综合应用所以12x x +<+，平方得222144x x x x ++<++，解得32x >-． 即不等式(1)(2)23f x f x x +-+>+的解集为3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．一、选择题 1．已知函数ln ln ()a xf x x+=在[1,)+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10a e<< B ．0a e <≤C ．a e ≤D ．a e ≥【答案】D【解析】函数ln ln ()a x f x x +=在[1,)+∞上为减函数，21ln ln ()a xf x x --'=， 则()0f x '≤在[1,)+∞上恒成立，即1ln ln 0a x --≤在[1,)+∞上恒成立， ∴ln 1ln lne x a a ≥-=恒成立，∴ln 0e a ≤，即01ea<≤，∴a e ≥．故选D ． 2．已知定义在R 上的函数()y f x =满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有(4)()f x f x +=；②对于任意的1x ，2x ∈R ，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是（ ） A ．(7)(4.5)(6.5)f f f << B ．(4.5)(7)(6.5)f f f << C ．(7)(6.5)(4.5)f f f << D ．(4.5)(6.5)(7)f f f <<【答案】B【解析】定义在R 上的函数()y f x =满足三个条件：由①对于任意的x ∈R ，都有(4)()f x f x +=，可知函数()f x 是周期4T =的周期函数；对点增分集训②对于任意的1x ，2x ∈R ，且1202x x ≤<≤，都有12()()f x f x <， 可得函数()f x 在[0,2]上单调递增；③函数(2)y f x =+的图象关于y 轴对称，可得函数()f x 的图象关于直线2x =对称． ∴(4.5)(0.5)f f =，(7)(3)(1)f f f ==，(6.5)(2.5)(1.5)f f f ==． ∵(0.5)(1)(1.5)f f f <<，∴(4.5)(7)(6.5)f f f <<．故选B ．3．已知函数(1)y f x =+关于直线1x =-对称，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，31log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，0.3(2)b f -=-，3(2log 2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】D【解析】因为(1)y f x =+关于直线1x =-对称，所以()f x 关于y 轴对称， 因为()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，331log (log 5)5a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，0.30.31(2)2b f f -⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，3(log 4)c f =，因为33log 5log 41>>，0.31102⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，根据函数对称性及单调性可知b c a <<，所以选D ．4．已知实数x ，y 分别满足：3(3)2019(3)x x a -+-=，3(23)2019(23)y y a -+-=-， 则2244x y x ++的最小值是（ ） A ．0 B ．26C ．28D ．30【答案】C【解析】设3()2019f x x x =+，则()()f x f x -=-， 即函数()f x 是奇函数，且函数为增函数，∵3(3)2019(3)x x a -+-=，3(23)2019(3)y y a -+-=-，∴33(3)2019(3)[(23)2019(23)]x x y y -+-=--+-， 即(3)(23)f x f y -=--，即(3)(32)f x f y -=-，∵3()2019f x x x =+为增函数，∴332x y -=-，即260x y +-=，把26y x =-代入2244z x y x =++，得到2222(6)428362(2)2828z x x x x x x =+-+=-+=-+≥，当且仅当2x =，2y =时取得最小值．故选C ．5．设函数()11,1121,1x x f x x x ⎧+-≥⎪=+⎨⎪<⎩，则不等式2(6)()f x f x ->的解集为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,2)-C．(-D．(2)【答案】D【解析】易证得函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，当1x <时，得261x x ->⇒<<1x <<； 当1x ≥时，得2632x x x ->⇒-<<，则12x ≤<，综上得不等式的解集为(2)．6．若对x ∀，y ∈R ，有()()()3f x f y f x y +-+=，函数22()()1xg x f x x =++，(2)(2)g g +-的值（ ） A ．0 B ．4C ．6D ．9【答案】C【解析】∵函数()y f x =对任意x ，y ∈R ，都有()()()3f x f y f x y +-+=， 所以()()()3f x y f x f y +=+-，∴令0x y ==，(0)(0)(0)3f f f =+-， ∴(0)3f =．令2,2x y ==-，(2)(2)(0)3f f f +--=，∴(2)(2)6f f +-=， ∴22222(2)(2)(2)(2)(2)621(2)1g g f f ⨯⨯-+-=+++-=+-+．故选C ．7．设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =， 则函数()cos π()g x x f x =-在区间[3,5]-上的所有零点的和为（ ） A ．10 B ．8C ．16D ．20【答案】B【解析】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-， ∴()(2)(2)f x f x f x =-=-+，可得(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，且()y f x =图象关于直线1x =对称． 故()cos π()g x x f x =-在区间[3,5]-上的零点，即方程cos ()x f x π=的根， 分别画出cos πy x =与()y f x =的函数图象，因为两个函数图象都关于直线1x =对称，因此方程cos π()x f x =的零点关于直线1x =对称，由图象可知交点个数为8个， 分别设交点的横坐标从左往右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，7x ，8x ， 则182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，所以所有零点和为8，故选B ． 8．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，K ，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=L L （ ）A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】211()211x g x x x -==+--，由此()g x 的图象关于点(1,2)中心对称，(1)2y f x =+-是奇函数，(1)2(1)2f x f x -+-=-++，由此(1)(1)4f x f x -+++=，所以()f x 关于点(1,2)中心对称，1266x x x +++=L ，12612y y y +++=L ，所以12612618x x x y y y +++++++=L L ，故选D ．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=， 则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0C ．1D ．3【答案】B【解析】∵()()f x f x -=-，∴(3)(3)f x f x -=--，且(0)0f =， 又(3)()f x f x -=，∴()(3)f x f x =--，由此可得(3)(6)f x f x -=--，∴()(6)f x f x =-，∴()f x 是周期为6的函数，(2019)(63363)f f =⨯+，∴(2019)(3)(0)0f f f ===，故选B ．10．已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为(0,1)，且()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)，则b =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】∵函数32()f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为(0,1)，∴()()2f x f x -+=，∴(1)(1)2(2)(2)2f f f f -+=⎧⎨-+=⎩，即141a c a c +=⎧⎨+=⎩，得01a c =⎧⎨=⎩，∴3()1f x x bx =++，2()3f x xb '=+， 又∵()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线过点(2,7)， ∴(1)7(1)12f f -'=-，即531b b -+=-，解得1b =，故选A ．11．定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()232,[0,1)1,[1,2)2x x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎝⎭⎩，若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[2,0)(0,1)-U B ．[2,0)(1,)-+∞U C ．[2,1)-D ．(,2](0,1]-∞-U【答案】D【解析】当[0,1)x ∈时，21(),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦； 当[1,2)x ∈时，321()1,2x f x -⎡⎛⎫=-∈-⎢⎪⎝⎭⎣⎦， ∴当[0,2)x ∈时，()f x 的最小值为1-，又∵函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[2,0)x ∈-时，()f x 的最小值为12-， 当[4,2)x ∈--时，()f x 的最小值为14-， 若[4,2)x ∈--时，1()42t f x t ≥-恒成立，∴11424t t -≤-， 即(2)(1)04t t t+-≤，即4(2)(1)0t t t +-≤且0t ≠，解得(,2](0,1]t ∈-∞-U ．故选D ．12．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且图象关于点(2,0)对称，且当(0,2)x ∈时，3()f x x =， 则函数()f x 在区间[2018,2021]上（ ） A ．无最大值 B ．最大值为0C ．最大值为1-D ．最大值为1【答案】D【解析】因为函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，所以(4)()f x f x -=-． 又函数()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-． 令t x =-，得(4)()f t f t +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数．又函数()f x 的定义域为R ，且函数()f x 是奇函数，所以(0)0f =，(2)(2)f f -=-， 由函数()f x 的周期为4，得(2)(2)f f -=，所以(2)(2)f f -=，解得(2)0f =．所以(2)0f -=．依此类推，可以求得(2)0()f n n =∈Z ．作出函数()f x 的大致图象如图所示，根据周期性，可得函数()f x 在区间[2018,2021]上的图象与在区间[2,1]-上的图象完全一样． 观察图象可知，函数()f x 在区间(2,1]-上单调递增，且3(1)11f ==， 又(2)0f -=，所以函数()f x 在区间[2,1]-上的最大值是1， 故函数()f x 在区间[2018,2021]上最大值也是1．二、填空题 13．已知321()(1)1x f x x x +=+--，若(2021)f a =，则(2019)f -= ． 【答案】4a - 【解析】因为33213()(1)2(1)11x f x x x x x +=+-=++---， 所以33(2)2(1)1f x x x-=++--， 因而3333()(2)2(1)2(1)411f x f x x x x x+-=++-+++-=--， 所以(2019)4(2021)4f f a -=-=-．14．函数2log (2)a y x ax =-+在区间(,1]-∞上是减函数，则a 的取值范围是 ．【答案】[2,3)【解析】若01a <<，则函数2log (2)a y x ax =-+在区间(,1]-∞上为增函数，不符合题意；若1a >，则22t x ax =-+在区间(,1]-∞上为减函数，且0t >． ∴12120a a ⎧≥⎪⎨⎪-+>⎩，解得23a ≤<．综上，a 的取值范围是[2,3)．15．某同学在研究函数()()1x f x x x=∈+R 时，分别给出下面几个结论： ①等式()()f x f x -=-在x ∈R 时恒成立；②函数()f x 的值域为(1,1)-；③若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；④方程()f x x =在R 上有三个根．其中正确结论的序号有 ．（请将你认为正确的结论的序号都填上）【答案】①②③【解析】对于①，任取x ∈R ，都有()()11x x f x f x x x--==-=-+-+，∴①正确； 对于②，当0x >时，1()1(0,1)11x f x x x==-∈++，根据函数()f x 的奇偶性知0x <时，()(1,0)f x ∈-，且0x =时，()0f x =，∴()(1,1)f x ∈-，②正确；对于③，当0x >时，1()11f x x=-+，∴()f x 在(0,)+∞上是增函数，且0()1f x <<；再由()f x 的奇偶性知，()f x 在(,0)-∞上也是增函数，且1()0f x -<<，∴12x x ≠时，一定有12()()f x f x ≠， ③正确； 对于④，因为1x x x=+只有0x =一个根，∴方程()f x x =在R 上只有一个根，④错误．正确结论的序号是①②③．16．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x ∈R ，(2)(2)0f x f x +--=；③当[0,2]x ∈时，()f x x =；④函数1()()(2)n n f x f x -=⋅，n ∈*N ， 若过点(1,0)-的直线l 与函数(4)()f x 的图象在[0,2]x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是 ． 【答案】80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】∵函数()f x 的图象关于y 轴对称，∴函数()f x 是偶函数，由(2)(2)0f x f x +--=，得(2)(2)(2)f x f x f x +=-=-，即(4)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数．∵当[0,2]x ∈时，()f x x =，∴当[0,2]x -∈，即[2,0]x ∈-时，()()f x f x x -==-， 则函数()f x 在一个周期[2,2]-上的表达式为,(02)(),(20)x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩， ∵1()()(2)n n f x f x -=⋅，n ∈*N ，∴函数3(4)()(2)(8)f x f x f x =⋅=，故(4)()f x 的周期为12， 其图象可由()f x 的图象横坐标压缩为原来的18得到，作出(4)()f x 在[0,2]x ∈上的图象如图：易知过(1,0)M -的斜率存在，设过点(1,0)-的直线l 的方程为(1)y k x =+，设()(1)h x k x =+，则要使(4)()f x 的图象在[0,2]上恰有8个交点，则0MA k k <<， ∵7,24A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴20871114MA k -==+，故8011k <<．。