m
d2 x dt2
kx
F0
sin t
x0 x0 v(0) v0
通解是相应的齐次方程的通解与特解的和,即
x(t)
C1
cos
pnt
C2
sin
pnt
F0 k
1 1 2
sin
t
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段
根据初始条件确定C1、C2 。于是得到全解为 无激励时的自由振动
b me M
2
(1 2 )2 4 22
当激振力的频率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn 时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
阻尼比 较小时，在 = 1附近， 值急剧增大，发生共振。 由于激振力的幅值me2与2成正比。当→0时，≌0，B→0； 当>>1时，→1，B→b，即电机的角速度远远大于振动系统的
2、 >>1的区域(高频区或惯性控制区)，β 0 ，ψ π ，响应与
激励反相；阻尼影响也不大。
3、 ＝1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 ＝1略为偏左
处有峰值。通常将＝1，即 ＝ pn 称为共振频率。阻尼影响
显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，
无论阻尼大小， ＝1时，总有， ＝ /2 ,这也是共振的重要
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ， 为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ 的讨论
幅频特性与相频特性
1、 ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ，β 1 ＝0，响
应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
h sin t
x(0) x0和v(0) v0
微分方程全解：齐次方程的解加非齐次方程的特解
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
0
x(0) x0和v(0) v0
齐次解: x1(t)
d2 x dt2
2n
dx dt
pn2 x
h sin t
x(0) x0和v(0) v0
B
h
( pn2 2 )2 (2n)2 稳态受迫振动的振幅 ,
2nω tanψ pn2 ω2 滞后相位差
稳态受迫振动的振幅与滞后相位差均与初始条件 无关，仅仅取决于系统和激励的特性。
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ 的讨论
B
h / pn2
B0
[1 ( )2 ]2 4( n )2 ( )2
k 2m jc
Bb
1 (2 )2
(1 2 )2 (2 )2
tan
23
1 2 4 22
放大系数
B
1 (2 )2
b (1 2 )2 (2 )2
arctan
1
2 3 2 4
22
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.3受迫振动系统力矢量的关系
固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于me 。
M
幅频 特性 曲线 和相 频特 性曲 线
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
例 2.2 在图示的系统中，物块受粘 性欠阻尼作用，其阻尼系数为c，物 块的质量为m，弹簧的弹性常量为k。 设物块和支撑只沿铅直方向运动，
且支撑的运动为y(t) bsint ,试求物 块的运动规律。
具有结构阻尼系统的运动微分方程可写为
m
d2 dt
x
2
dx dt
kx
F t
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.6简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段
系统在过渡阶段对简谐激励响应是瞬态响应与稳态响应叠加。 先考虑在给定初始条件下无阻尼系统对简谐激励的响应,系统 的运动微分方程和初始条件写在一起为
2n
dx dt
pn2 x
m M
e 2
sin(t
π)
pn2
k M
，2n
c M
,
m e 2 = h
M
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
电机作受迫振动的运动方程为 x B sin(t π )
B me
2
b
2
M (1 2 )2 4 22
(1 2 )2 4 22
arctg 2 1 2
B
b
现象。
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
例题
例 质量为M的电机安装在弹性基础上。 由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，
偏心质量为m。转子以匀角速转动如图
示，试求电机的运动。弹性基础的作用相 当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时 受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。
解：取电机的平衡位置为坐标原点O，
2.1.5 等效粘性阻尼
在工程实际中，振动系统存在的阻尼大多是非粘性阻尼。 非粘性阻尼的数学描述比较复杂。为了便于振动分析，经 常应用能量方法将非粘性阻尼简化成等效粘性阻尼。 等效的原则是：粘性阻尼在一周期内消耗的能量等于非粘 性阻尼在一周期内消耗的能量。 假设在简谐激振力作用下，非粘性阻尼系统的稳态响应仍 然是简谐振动，即
x B sin(t )
非粘性阻尼在一个周期内做的功 WN FN (t)xd t
相等 粘性阻尼在一周期内消耗的能量 WR π cB2 等效粘性阻尼系数
WN π ceB 2
ce
WN
π B 2
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.5 等效粘性阻尼
利用式 B
h
( pn2
2 )2
(ce )2
式2-11不仅反映了各项力之间的相位关系，而且表示着一个力多 边形图2-7。
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.3受迫振动系统力矢量的关系
（a）力多边形
(b) ＜＜1
(c) = 1
(d) ＞＞1
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.4受迫振动系统的能量关系
从能量的观点分析，振动系统稳态受迫振动的实现，是 输入系统的能量和消耗的能量平衡的结果。现将讨论简谐 激振力作用下的系统，在稳态受迫振动中的能量关系。
(1 2 )2 4 22
pn
pn pn
,
pn
n ceq
pn 2meq pn
B0
h pn2
H keq
＝ B －振幅放大因子 B0
1
1 2 2 2 2
－曲线族－幅频特性曲线 －曲线族－相频特性曲线
arctan 2 1 2
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ 的讨论 －曲线族－幅频特性曲线;－曲线族－相频特性曲线
第2章 单自由度系统的受迫振动
第2章单自由度系统的受迫振动
目录
2.1 简谐激励作用下的受迫振动 2.2 周期激励作用下的受迫振动 2.3 任意激励作用下的受迫振动 2.4 响应谱
第2章单自由度系统的受迫振动
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.1 振动微分方程 2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差的讨论 2.1.3 受迫振动系统力矢量的关系 2.1.4 受迫振动系统的能量关系 2.1.5 等效粘性阻尼 2.1.6 简谐激励作用下受迫振动的过渡阶段
已知简谐激振力 FS H sin t
稳态受迫振动的响应为 x B sin(t )
dx dt
B
cos(t
),
d2 x dt2
B
2
sin(t
)
应用达朗贝尔原理，将弹簧质量系统写成
m
d2 dt
x
2
c
dx dt
kx
H
sin
t
0
惯性力 阻尼力 弹性力 激振力
现将各力分别用 B、kB、cB、H、m 2 B 的旋转矢量表示。
特解: x2(t)
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 x x1(t) x2 (t)
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.1 振动微分方程
有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解 x x1(t) x2 (t)
x1(t)－有阻尼自由振动运动微分方程的解：
x1 Ae－pntsin pdt
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.4受迫振动系统的能量关系
对于无阻尼系统(除共振情况外)相位差 0 或 π
每一周期内激振力做功之和为零，形成稳态振动。
2.
粘性阻尼力FR
c
dx dt
做的功
WR
T
FR
0
dx dt
(t) d t
T
c 2B2
0
cos(t
)dt
c 2B2 T 1 [1 cos 2(t )]d t π cB2
Wc π ceB2
得到稳态振动的振幅表达式
WR π cB 2
B H k
1 ( 4Fc )2 Hπ
2
1
p
2 n
结构阻尼
2.1 简谐激励作用下的受迫振动
2.1.5 等效粘性阻尼
ce
等效粘性 阻尼系数
一周期内结构阻尼消耗的能量为
Wd X 2 相等
WR π cB 2
Wc π ceB2
ceX 2 X 2
x轴铅直向下为正。作用在电机上的力 有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚 加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。