课 题：2.3函数的极限(二)
教学目的：
1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限．
2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限．
3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限
教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程：
一、复习引入： 1.数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞
=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等
于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞
=有
时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n
q （1<q ）的极限是0，即 )1(0lim <=∞
→q q n
n
3.函数极限的定义:
(1)当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常
数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作：
+∞
→x lim f (x )=a ，或者当x →+∞时，f (x )→a .
(2)当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数f (x )无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f (x )的极限是a . 记作
-∞
→x lim f (x )=a 或者当x →－∞时，f (x )→a .
(3)如果
+∞
→x lim f (x )=a 且-∞
→x lim f (x )=a ，那么就说当x 趋向于无穷大时，函
数f (x )的极限是a ，
记作：∞
→x lim f (x )=a 或者当x →∞时，f (x )→a .
4.常数函数f (x )=c .(x ∈R )，有∞
→x lim f (x )=c .
∞
→x lim f (x )存在，表示+∞
→x lim f (x )和-∞
→x lim f (x )都存在，且两者相等.所以∞
→x lim f (x )
中的∞既有+∞，又有－∞的意义，而数列极限∞
→x lim a n 中的∞仅有+∞的意义
二、讲解新课： 1.研究实例
(1)探讨函数2
x y =，当x 无限趋近于2时的变化趋势． 当x 从左侧趋近于2时，记为：-
→2x ．
当x 从右侧趋近于2时, 记为：+
→2x .
发现（左极限）2
2
lim 2x x -→=,（右极限）2
2
lim 2x x +
→=,因此有2
2
lim 2x x →=． (2)我们再继续看
1
12--=x x y ,当x 无限趋近于1（1≠x ）时的变化趋势:
211,(1)1
x y x x x -==+≠-,当x 从左侧趋近于1时，即1x -→时，2y →．
当x 从右侧趋近于1时, 即1x +
→时，2y →．
即（左极限）2111
(1)21lim lim x x x x x --→→-=+=-， （右极限）2111
(1)21lim lim x x x x x ++
→→-∴=+=- 211
1
(1)21lim lim x x x x x →→-∴=+=-
(3)分段函数1(0)
()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
当x →0的变化趋势.
①x 从0的左边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于－1.即0
lim ()1x f x -
→=- ②x 从0的右边无限趋近于0，则()f x 的值无限趋近于1. 即0
lim ()1x f x +
→= 可以看出
00
lim ()lim ()x x x x f x f x -
+→→≠，并且都不等于(0)0f =．象这种情况，
就称当0x →时，()f x 的极限不存在．
2. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数)(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作0
lim ()x x f x →=
特别地，C C x x =→0lim ；00
lim x x x x =→
3. 0
lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==
其中0
lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限，0
lim ()x x f x a +→=表
示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限
三、讲解范例：
例1求下列函数在X ＝0处的极限
（1）1
21
lim 220---→x x x x （2）x x x 0lim → （3）=)(x f 22,0
0,01,0x x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+<⎩
解：（1）22
0011
lim lim 12121
x x x x x x x →→-+==--+ （2）00
0lim 1,lim 1lim x x x x x x
x x x
-
+→→→=-=⇒不存在． （3）=)(x f 22,00,01,0x x x x x ⎧>⎪
=⎨⎪+<⎩
20
lim ()lim(1)1,lim ()lim 21x
x x x x f x x f x --++
→→→→⇒=+=== 0
lim ()lim ()1lim ()1x x x f x f x f x -+
→→→⇒==⇒=．
四、课堂练习：
1．对于函数12+=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限
2．对于函数12
-=x y 填写下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数12
-=x y 的极限
3.求如下极限：
⑴121lim 221---→x x x x ; ⑵32302)31()1(lim x x x x x +-+-→; ⑶)cos (sin 2lim 2
2
x x x x --→
π ⑷2
321lim
4
--+→x x x ;⑸x
a x a x -+→20
lim
（0>a ）; ⑹x x 1
lim 0→
答案：⑴22
11112lim lim 21213x x x x x x x →→-+==--+ ⑵ 323
00(1)(13)3
lim lim 3212x x x x x x x x →→-+--==-++ ⑶22
2
lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-
⑷44
3x x →→==
⑸012x x a x a
→→== ⑹x x 1
lim 0→不存在． 五、小结 ： 六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：。