几何压轴题1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O .(1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ；(2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值；(3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值.图① 图②答案：1；……………………………………………………………………………………………1分（2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DCBC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴ACCD BC CE '='． ∵D C E ECD ''∠=∠,∴,E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '∆∽D AC '∆.∴45==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分（3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE =21BC =2．△CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE∵CO 随着E CB '∠的增大而增大，∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大．（如图3）CB∴此时E CB '∠=30°，E C '=21BC =2 =CE ．∴点E '在AC 上，即点E '与点O 重合．∴CO =E C '=2． 又∵CO 最大时，AO 最小，且AO =AC -CO =3． ∴3321=•=∆BM AO S OAB 最小．………………………………………………………………8分2．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．(1)若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ∆是三角形．(2)在ABE ∆和BCF ∆中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则MBN ∆是 三角形，且=∠MBN .(3)若将(2)中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.答案：（1）等腰直角 ………1分（2）等腰 ………2分 α ………3分 （3）结论仍然成立 ………4分证明： 在ABF EBC ∆∆和中，BA BEABF EBC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△EBC.∴AF =CE . ∠AFB =∠ECB .……5分 ∵M ,N 分别是AF 、CE 的中点,∴FM =CN .∴△MFB ≌△NCB. ∴BM =BN . ∠MBF =∠NBC .……6分∴∠MBN =∠MBF +∠FBN =∠FBN +∠NBC =∠FBC =α.……7分3．图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C D E '''叠放在一起(C 与C '重合)．(1)固定△ABC ，将△C D E '''绕点C 顺时针旋转30︒得到△CDE ，连结AD BE 、(如图2)．此时线段BE 与AD 有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2)设图2中CE 的延长线交AB 于F ，并将图2中的△CDE 在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△QRP (如图3)．设△QRP 移动(点P Q 、在线段CF 上)的时间为x 秒，若△QRP 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； 图 1 图 3图4(3)若固定图1中的△C D E '''，将△ABC 沿C E ''方向平移，使顶点C 落在C E ''的中点处，再以点C 为中心顺时针旋转一定角度，设()3090ACC αα'∠=︒<<︒，边BC 交D E ''于点M ，边AC 交D C ''于点N (如图4)．此时线段C N E M ''的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C N E M ''的值；如果有变化，请你说明理由． 答案：（1）BE AD =. ………………………………………………………………1分证明：如图2，∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，△C D E '''绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，∴△CDE 也是等边三角形，且230∠=︒，∴60ACB DCE ∠=∠=︒, ,CA CB CE CD ==. …………………………………2分B AMBC 'CAN (C ')D 'E 'E ADC (C ')E 'D '321DAE∴130∠=︒,∴330∠=︒,∴23∠=∠.∴△BCE≌△ACD，∴BE AD=. ……………………………………3分（2）如图3，设PR RQ、分别与AC交于点O L、.∵△CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移x秒，平移后的△CDE为△PQR，CQ x∴=.由（1）可知60,30PQR PRQ BCA BCF∠=∠=∠=︒∠=︒，30ACF∴∠=︒，30CLQ RLO∴∠=∠=︒.,90LQ CQ x ROL∴==∠=︒.3QR =,3RL x∴=-.在Rt ROL△中，11(3)22OR RL x ==-，cos30(3)2OL RL x=︒=-.213(3)28ROLS RO OL x∆∴==-.…………………………………………………………4分过点R作RK PQ⊥于点K.在Rt RKQ△中，sin602RK RQ=︒=，19324RPQS PQ RK∆∴==.2RPQ ROLy S S x∆∆∴=-=. (5)分30,60BCF B∠=︒∠=︒，90BFC∴∠=︒.当点P与点F重合时，3FQ PQ==，∵sin606CF BC=︒=，∴3CQ=.∴此函数自变量x的取值范围是图303x ≤≤ . …………………………………………6分（3）C N E M ''的值不变 . ……………………………………………………7分 证明：如图4，由题意知，54180α∠+∠+∠=︒，∴1204α︒∠=-∠，在CME '∆中，61204︒∠=-∠，∴6α∠=∠. 又∵60C E ''∠=∠=︒， ∴△E MC '∽△C CN '，∴E M E CC C C N''=''． ∵点C 是C E ''的中点，3C E ''=，∴32E C CC ''==，∴3232E MC N '='，∴94C N E M ''=． …………………………………………………8分 4． 以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置及数量关系．(1)如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ，线段AM 与DE 的数量关系是 ；(2)将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 答案：（1）DE AM ⊥，12AM DE = （2）结论仍然成立。

α654D 'E '图4NCC 'M AB证明：如图，延长CA 至F ，使FA=AC ，FA 交DE 于点P ，并连结BF ．,BA DA ⊥AFEA ⊥，∴90BAF DAF EAD ∠=︒+∠=∠．在FAB ∆与EAD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DA BA EAD BAF AE FA≅∆FAB EAD ∆(SAS ) .∴BF=DE , AEN F ∠=∠.∴90FPD F APE AEN ∠+∠=∠+∠=.∴DE FB ⊥ .又CA=AF, CM=MB ，∴AM // FB 且AM=21FB ，∴DE AM ⊥, AM=21DE ． 5． (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD ;(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =12∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明. 答案：（1）证明：延长EB 到G ，使BG =DF ，联结AG . ∵∠ABG ＝∠ABC =∠D ＝90°, AB ＝AD ，∴△ABG ≌△ADF . ∴AG ＝AF , ∠1＝∠2． --------------------1分 ∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠EAF =12∠BAD ． ∴∠GAE =∠EAF ．又AE ＝AE ，∴△AEG ≌△AEF .∴EG ＝EF ． -----------------2分∵EG=BE+BG．∴EF= BE＋FD--------3分(2) (1)中的结论EF= BE＋FD仍然成立.---------------------------4分（3）结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE-FD．--------------------5分证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴∠BAG＝∠DAF,AG＝AF．∠BAD．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD=∠EAF =12∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF ---------------------6分∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD． ---------------------7分6． (1)如图1，四边形ABCD中，CBABC，︒ADC，请你∠120=AB=，︒=∠60猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，四边形ABCD中，BCABC，若点P为四边形ABCD内∠60AB=，︒=一点，且︒APD，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的数量关系，=∠120并证明你的结论．答案：（1）如图１，延长CD至E，使DADE=．可证明EAD∆是等边三角形． (1)分图１图2联结AC ，可证明BAD ∆≌CAE ∆． ……………………………………………2分 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．……………………………………………3分 （2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，可证明C B A '∆≌ADB ∆，得DB C B ='．…………………………………………4分∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件，∴ PD AP P B +='．………………………5分 联结C B '，ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上，则PC B P C B +'='．∴ PC PD AP C B ++='． ∴ PC PD PA BD ++= ． ……………………………………………6分 ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上， ∵ PC B P C B +'<'，∴ PC PD AP C B ++<'．∴ PC PD PA BD ++<． ……………………………………………7分 综上，PC PD PA BD ++≤． ……………………………………………8分如图10，在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC>AC ,以斜边AB 所在直线为x 轴,以斜边AB 上的高所在直线为y 轴,建立直角坐标系,若OA 2+OB 2=17,且线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2-mx +2(m -3)=0的两个根. （1）求C 点的坐标；（2）以斜边AB 为直径作圆与y 轴交于另一点E ，求过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图；（3）在抛物线上是否存在点P ，使△ABP 与△ABC 全等？若存在，求出符图 1图2 A O图10EB G xC y E合条件的P 点的坐标；若不存在，说明理由.解：（1）∵线段OA 、OB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2－mx +2(m －3)=0的两个根， ∴⎩⎨⎧-=•=+） （2)3(2)1(m OB OA m OB OA 又 ∵OA 2+OB 2=17， ∴（OA+O B ）2－2·OA ·OB =17.（3）∴把（1）（2）代入（3），得m 2－4(m －3)=17. ∴m 2－4m －5=0.， 解得m =-1或m =5. 又知OA+OB =m >0，∴m =－1应舍去. ∴当m =5时，得方程x 2－5x +4=0. 解之，得x =1或x =4. ∵BC>AC, ∴OB>OA . ∴OA =1，OB =4.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CO ⊥AB ， ∴OC 2=OA ·OB =1×4=4. ∴OC =2， ∴ C （0，2）.（2）∵OA =1，OB =4，C 、E 两点关于x 轴对称， ∴A (－1,0),B (4,0),E (0,－2).设经过A 、B 、E 三点的抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ,则 ∴所求抛物线解析式为213 2.22y x x =-- （3）存在.∵点E 是抛物线与圆的交点， ∴Rt △ACB ≌△AEB .∴E （0，-2）符合条件.∵圆心的坐标（32，0）在抛物线的对称轴上， ∴这个圆和这条抛物线均关于抛物线的对称轴对称. ∴点E 关于抛物线对称轴的对称点E ′也符合题意. ∴可求得E ′（3，-2）.∴抛物线上存在点P 符合题意，它们的坐标是（0，-2）和（3，-2）。