13
例 ：计算
（1）( 2 3)(2 2 1) （2）( 80 5) 10
解：( 2 3)(2 2 1) 解：( 80 5) 10
4 2 6 2 3
80 5 10 10
15 2
8 1 2
2 2 2
2
32
14
2
例4.计算 :
(1) 8 3 6
(2) 4 2 3 6 2 2
10
3、同类二次根式
定义：化为最简二次根式后被开方数相同
的二次根式。 例：下列哪些是同类二次根式。
18 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
11
4、二次根式的加减
例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2）（ 3 3 3）小结：
二次根式的定义： 形如 a （a 0）的式子
叫做二次根式。
（１）被开方数 a 0 ；（２）根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a ③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
3
二次根式的性质
（1）． a 0 （ａ 0）
12 11 11 10
17
变式应用
例：已知 x 3 2 , y 3 2 ,
3 2
3 2
求 3x2 5xy 3y2 的值。
解：Q x y 3 2 3 2 3 2 3 2
( 3 2)2 ( 3 2)2 10
xy 3 2 3 2 1 3 2 3 2
3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy
(3) 6 2 6 2
2
(4) 2 5 2
解：(1) 8 3 6 (2) 4 2 3 6 2 2
8 6 3 6 4 22 23 62 2
4 33 2
23 3
2
(3) 6 2 6 2 6 2 4
2
(4) 2 5 2 20 4 10 2 22 4 10
3102 11 289
18
7、分解因式 a ( a)2(a 0)
例：分解因式：
(1)x2 2 x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3y2 ( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
练习：在实数范围内分解因式
（1） 3x2 15
（2） 2a2 4b2
15
6、分母（分子）有理化
例：计算 3 (3 3)
解法一： 3 (3 3) 3 3(3 3)
3 3 (3 3)(3 3)
解法二：
3 3 3 3( 3 1) 3 1
93
6
2
3 (3 3) 3
3 1
3 3 3( 3 1) 3 1
3 1
3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( 3 1)( 3 1) 2
22 3
先化简，
(2) 8 18 12
再合并同类根式
解：原式 4 2 9 2 43
2 2 3 2 2 3
5 22 3
12
5、二次根式的乘除
乘法： a b ab (a 0,b 0)
ab a b(a 0,b 0） 除法： a a (a 0,b 0)
bb
a a (a 0,b 0） bb
6
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
(1) 50 (4) 0.75
(2) a2bc
(3) x2 y
(5) (a b)(a2 b2) (6) 1 6 2
9
例：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
(2) 4x6 y(x 0)
(3)4 1 1 2
(4)x2 y (x 0) x
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数 分解或因式分解,然后利用积的算术平方根的性 质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商 的算术平方根的性质,将其变为二次根式相除 的形式,然后利用分母有理化,将式子化简。
19
谈谈你的收获。
20
1
知识结构
最简二次根式
三个概念
同类二次根式
有理化因式
--不要求，只 需了解
1、 a 0(a 0)
二
三个性质 2、 a 2 aa 0
次
3、 a 2 a a 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
四种运算
加 、减、乘、除
2
1、二次根式的概念
（2）． ( a )2 a
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
4
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X __≤__3_时， 3 x有意义。
2. a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
说明：二次根式被开方数
解： x 5 0 ① 3 x 0 ②
不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 -5≤x＜3
5
4、已知函数y x 2 2 x x 1,求yx的值。
解：由2x
2 x
00 得： xx
2 2
x 2 y 3
y x 32 9
5、已知x、y是实数，且
y x2 4 4 x2 1 ，求3x+4y的值。 x2
A.3
B.-3
C.1
D.-1
7
2、最简二次根式
１、被开方数不含分数；
２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；
注意：分母中不含二次根式。
练习1：把下列各式化为最简二次根
式1
5
5 5
32
4 2
2
7
2 7 7
2x3 3y
x 6xy 3y
8
（3） ．
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
16
例: 试比较下列各组数的大小：
12 11 和 11 10。
解：Q 12 11 12 11 ( 12 11)( 12 11) 1
1
12 11
12 11
11 10 11 10 ( 11 10)( 11 10) 1
1
11 10
11 10
又Q 12 11 11 10