（1）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数,然后 利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数时,先利用商的算术平方根的 性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分母有理 化,将式子化简。
7
1.化简下列二次根式：
解 1 24
46
4 6 2 6
2 28
47 4 7 2 7
其中字母a、b可以是什么数？有什么限制条件吗？
注意公式里的条件 噢！
4
例题1：计算下列各式。
(1) 81 64
(2) 25 6
(3) 5 9
5
观察与思考
56
5
3
观察式子的,你能说出化简后二次根式的特点吗?
满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
（1）这些二次根式中的被开方数不含能够开的 出来的因式
13
4、强化练习
1、指出下列各式中哪些是最简二次根式：
(1) 30m
(2) 1 x 2
2x2 y 2 (3)
xy
(4) x2 2x 4
(5) 101
2、把下列各式化成最简二次根式：
(1) a3 2a2 a
.
(2) yz 3x2
3、 已知 5 2.236
求 2000的近似值 (结果保留三个有效数字 )
12
课堂小结
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab a • b
a
b
是化简二次根式的依据之一。
a （a≥0， b＞0）
b
2、被开方式一定要先分解成平方因子和其它因子 相乘的形式。
3、被开方式是多项式时一定要先因式分解，化 为积的形式后才能化简。
4、化简时，被开方式的所有平方因子一定要 全部移到根号外。
强化练习2：
（1） 32 ＝ 4 2
（2） 72 ＝ 6 2
（3） 1.5
（4） 12 7
6 ＝2
2 21
＝
7
1
（5）
5
＝5 5
（6） 2 5
＝ 10 5
这些二次根式中 的被开方数不含 能够开的出来的 因式 ，被开方数不是 分数， 分母中也不含二 次根式， 满足这三点的二 次根式叫最简二 次根式。
10
强化练习
1、下列二次根式的化简正确吗？
1 32 52 32 52 3 5 15
正确解法： 32 52 32 52 3 5 15 2 48 412 2 12 2 4 3 4 3
48 16 3 42 3 4 3
3 4a2 b2 4a2 b2 2a b ～～～～～ 性质错用 11
3 32
4 54
16 2 16 2 4 2
96 9 6 3 6
8
例2：化简下列二次根式
1 9a3ba 0,b 0
解：1 9a3b
32 • a2 • a •b
一般步骤：
①先把被开方式分解成平方 因子和其它因子相乘的形式。
3a ab
②再根据积的算术平方根的 性质和 a2 a(a 0) 把平方因 子移到根号外。
9
尝试练习
设 a 0 ，b 0 ，化简下列二次根式。
1 72
2 8a2b3
解：1 72 98 32 22 2 3 2 2 6 2
或 72 36 2 62 2 6 2
2 8a2b3 2• 22 • a2 •b2 •b 2ab 2b
在化简时，一定要把被开方式中所有平方因子 全部移到根号外，否则未完成化简。
14
例3：如图:隔湖
有两点A、B，
从与AB方向成
直角的BC方向
上的点C，测得
A
AC=70m，
CB=50m，求
AB。
C
B
15
（2）被开方数不是分数 （3）分母中也不含二次根式
温馨提示：化简计算时，通常要求最终结果是整式或最
简二次根式，即要求结果的分母里不含有根号，而且各
个二次根式是最简二次根式！
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例题1：化简下列各式。
(1) 50 (4) 45
2
(2) (5)
2 7
125 12
(3) 1 3
(6) 2.5
化简二次根式的方法：ห้องสมุดไป่ตู้
2、商的算术平方根的性质
a a a 0,b 0
bb
两数…个的…非算负术…数平…的 方商 根的 的算 商术平方根等于这两个非负
3
发现规律：
a b a b （a≥0，b≥0） ，
a b
a （a≥0， b＞0）． b
( a · b )2 =( a )2·( b )2 = a· b ,
（a≥0， b＞0）．
八年级下册数学
二次根式的化简
（最简二次根式）
1
学习目标
1：掌握积的二次根式和商的二次根式 的计算公式，会进行简单的二次根式 化简；
2：理解最简二次根式的概念，会判断 代数式是不是最简二次根式；
2
知识探究
1、积的算术平方根的性质
ab a • ba 0,b 0
两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负 数的算术平方根的积