m inIX,r得X（ k r） .
0
XD
k
k
高教版《数学建模与数学实验第3
版》第6讲非线性规划
内点法的迭代步骤
( 1 ) 给 定 允 许 误 差 0 ， 取 r 1 0 , 0 1 ；
(2) 求出约束集合 D 的一个内点 X 0 D0，令k = 1；
(3)
以
X
k 1
D0为初始点，求解min X D 0
定义1 把满足问题（1）中条件的解 X ( Rn )称为可行解（或可行
点），所有可行点的集合称为可行集（或可行域）．记为D．即
{ } D = X | gi X 0, hj X = 0, X Rn
问题(1)可简记为 minfX． XD
定义2 对于问题(1),设 X* D ,若存在 0 ,使得对一切
（1）
其中 X = x1, x2,L, xn T Rn，f , gi,hj 是定义在 Rn 上的实值函数，
简记:
f : Rn R1, gi : Rn R1, h j : Rn R1
其它情况: 求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零 两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式．
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有约束条件 g iX 0 或 h iX 0，故罚项大于0，要受惩罚．
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SUTM外点法(罚函数法)的迭代步骤
1．任意给定初始点 X0，取M1>1，给定允许误差 0，令k=1；
m X 2iR n ．nT 求无X ,约M 束极=T 值(问X 题k,M m Xik Rn)nT；X,M的最优解，设Xk=X(Mk)，即
解一系列无约束问题中，计算量太大，特别是随着Mk的增大，
可能导致错误．
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SUTM内点法（障碍函数法）
考 虑 问 题 ： s m .ti.ng fiX X 0 i= 1 ,2 ,...,m (1 )
设 集 合 D 0= {X |gX 0 ,i= 1 ,2 , ,m } ， D 0 是 i
j= 1
将 问 题 （ 1 ） 转 化 为 无 约 束 问 题 ： m i n T X , M ( 3 ) X R n
其中T(X,M)称为罚函数，M称为罚因子，带M的项称为罚项，
这里的罚函数只对不满足约束条件的点实行惩罚:当X D 时，满足
各 g iX 0 ,h iX = 0，故罚项为0，不受惩罚．当X D 时,必
XD ,且 X X* ,都有 fX*fX,则称X*是f(X)在D上的
局部极小值点（局部最优解）．特别地,当 X X* 时，若
fX*fX,则称X*是f(X)在D上的严格局部极小值点（严格局部最
优解）．
定义3 对于问题(1),设 X* D ,若对任意的 XD,都有f X* f X ,
可 行 域 中 所 有 严 格 内 点 的 集 合 .
构造障碍函数
m
I X , r ：I X , r= f X r lngi X 或
i =1
I ( X , r) =
f
(X ) r
m i =1
1
gi X
m
其中称r lngi X 或
i =1
m
r
i =1
g
i
1
X
为障碍项，
r为障碍因子.
这 样 问 题 （ 1） 就 转 化 为 求 一 系 列 极 值 问 题 ：
3．若存在 i1im，使 gi Xk ,则取Mk>M(M k1=M ,=1)0,
令k=k+1返回（2），否则，停止迭代．得最优解 X* Xk．
m
计算时也可将收敛性判别准则 gi Xk 改为 M min0,giX2 0．
i=1
罚函数法的缺点：每个近似最优解Xk往往不是容许解，而
只能近似满足约束，在实际问题中这种结果可能不能使用；在
非线性规划
非线性规划的基本概念 *非线性规划的基本解法
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非现性规划的基本概念
定义 如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数, 则最优化问题就叫做非线性规划问题．
一般形式:
mifn X
s.t.hgij
X X
=
0 0
i = 1,2,..., m; j = 1,2,...,l.
2． 近似规划法
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罚函数法
罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题， 进而用无约束最优化方法去求解．这类方法 称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT 法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点
法．
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近似规划法的基本思想：将问题(3)中的目标函数 f X 和约束条件 g i X 0 ( i = 1 , . . . , m ) ;h j X = 0 ( j = 1 ,, l )
I
X
,
rk
，其中
X
D0的
最优解设为 X k = X rk D0；
(4)
检验是否满足
r
m
ln
i=1
gi
Xk
或
rk
m
i=1gi
1
X
，若满
足，停止迭代，令 X * X k ；否则取rk1 = rk ，令k = k 1，
返回(3）．
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近似规划法
数学建模与数学实验
非线性规划
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实验目的 实验内容
1． 直观了解非线性规划的基本内容． 2． 掌握用数学软件求解优化问题．
1．非线性规划的基本理论． 2． 用数学软件求解非线性规划． 3． 钢管订购及运输优化模型． 4．实验作业．
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SUTM外点法
对 一 般 的 非 线 性 规 划 ：m infX
s.t. h g jiX X =0 0
i= 1 ,2 ,...,m ; j= 1 ,2 ,...,l.
(1 )
m
l
可T 设 X ,M = ： fX Mm 0 ,i g in X 2 Mh jX 2 (2 )
i= 1
则称X*是f(X)在D上的全局极小值点（全局最优解）．特别地,当
X X* 时，若 fX*fX,则称X*是f(X)在D上的严格全局极小值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
点（严格全局最优解）．
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非线性规划的基本解法
1． 罚函数法
SUTM外点法 SUTM内点法（障碍罚函数法）