几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧 洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。

在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。

年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。

其实这个问题的解决并不是很困难，个月初时免房里的免子的对数，则有，第可以用表示第个月初就已经个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对；在免房内的免子，共对，于是有。

有现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

：设二阶常系数线性齐次递推式为特征根法），其特征方程为（，其根为特征根。

则其通项公式为），若特征方程有两个不相等的实根（1），其中A、B由初始值确定；（（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为），其中A、（B由初始值确定。

（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出），对应的特征方程为因此对于斐波那契数列，其特征根为：所以可设其通项公式为，，得利用初始条件，解得所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。

斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。

斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。

为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）项和；（1）斐波那契数列的前2）；（（3））；（）；（ 4 （）（5（））；．分群数列2 ：按照一定的规则依顺序用括{}将给定的一个数列我们将如在上述数列中，作为第号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。

作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第一组，将组有（个元素，即可得到以组为单位的序列：（），），（），……我们通常称此数列为分群数列。

的分群数列用如下的形式表示：（），{ 一般地，数列}），（），……，其中第1个括号称为第（1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，{}称为这个分群数列的原数列。

如果某一个元素在分群数列的第而数列个群中的第个，则称这个元素为第群中，且从第个元个括号的左端起是第素。

{} 值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。

如对数列分群，还可以得到下面的分群数列：），（个群中有第个元素的分群数列为：（），）…；（），（第），个群中有个元素的分群数列为：（）…等等。

（．周期数列3如果存在一个常数，对于数列{恒，}使得对任意的正整数{有T项起的周期为的周期数列是从第成立，则称数列}。

若，若，则称数列{为纯周期数列}，为}混周期数列，则称数列{T的最小值称为最小正周期，简称周期。

周期数列主要有以下性质：（1 ）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；；周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）（ 2）{}，T是数列}{也是数列的周期，则对于任意的（3）如果的周期；{}是数列的任一周期，则必有是数列}{的最小正周期，M4 （）如果T ）；T|M，即（M={分别为（5 （）已知数列}{}满足为常数），，的前，则项的和与积，若；是的自然数，若是某个取定大于1除} （6）设数列{是整数数列，则称数列后的余数，以{即，且，是}{若模数列则称。

的模数列，记作}关于是周期的，是关于模的周期数列。

）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。

（74．阶差数列记为}{－，把它的连续两项与，的差对于一个给定的数列；如果一阶差数列}得到一个新数列，把数列的称为是原数列{{的一阶差数列，}，则称数列的是是数列二阶差数列；{}的，其中阶差数列。

依次类推，可以得到数列阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列如果某一数列的。

其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。

高阶等差数列具有以下性质：则它的一阶等差数列是阶差数列；如果数列是{}阶等差数列，（1）{2）数列 } 是阶等差数列的充要条件是：数列的{}的通项是关于（次多项式；的是关于项之和{}次是阶等差数列，则其前3 （）如果数列多项式。

高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。

解决问题的基本方法有：； (1)逐差法：其出发点是nn是确项和(2)S待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前n的)，(关于先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即定次数的多项式得fnanfn)(( +1)(3) 裂项相消法：其出发点是－能写成=(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为设数列 1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比如果某一个数列它的一般地说，则称这为二阶等比数列。

的等比数列，1不为而阶差数列是公比不为1阶等差数列不是等比数列，的等比数列，则称这个数。

列为阶等比数列，其中0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。

典例分析，．记例1．的通项公式为数列整除．，使得能被8，求所有的正整数（2005年上海竞赛试题）解：记，可得注意到因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定式可以算出各项除以8，故由(*) 的余数从而6为周期的数列，，……，它是一个以，0,5，7,0，1,3依次是1,3故当且仅当，且每位数字只的各位数字之和为N的个数，例２N．设是下述自然数或4，求证：能取1、3是完全平方数，这里分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。

方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。

且。

其中设，时，4分别1， 3假设，删去，时，则当依次取时，故当，等于（1），作数列且：现用数学归纳法证明下述两式成立：（2））3 （因为）两式成立。

3）（2时（故当．）两式成立，由当时，由（31）（）时，（假设当2）（的定义以及归纳假设，知式、）两式对于一切自然数）（3）两式对于成立。

故（22 这样（）（3）即可知是完全平方数。

2成立。

，由（的递推关系式寻求的递推关系式，从这个递推关系式方法二：由与斐波那契数列的关系。

对求且其中设，。

时，4分别1假设，，删去时，则当3，依次取时，等于，故当所以时，有令，则当，下用数学归纳法证明因为，其中是斐波那契数列：且，当时结论显然；于是时结论成立，设时命题成立。

即当是完全平方数，从而，从上述证明可知，对一切正整数也是完全平方数。

}:中所有能被3或3．将等差数列5{整除的数删去例{剩下的数自小到大排成一个数列后,},的值求.（2006年江西省竞赛试题）当且仅当是3或5的倍3故若是或5的倍数,解 :,由于数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+ )＝(0,60]∪(60,120]∪{}的项15个,(120,180]∪…注意第一个区间段中含有,{}的项8其中属于即 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.个, :为,,,,,,, ,{}的项个,个 {}的项,8于是每个区间段中恰有 15而,8×250+6,r≤8.由于2006＝,k∈N,1 且有≤所以 .组有个奇数进行分组：从小到大按第例4．将正奇数集合{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？nn组1991介于其中，而第组的第1个数与最后一个数，解：需要写出第的最后一个数为。

第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1)2+1－，。

由题意知1]+2=2(n－1)2+12(n位，即且1991 解得(n－，故1)2且，从而 32级中。

于第，将，公差为的首项是按第组有个数的例5．设等差数列法则分组如下：，，……，，是第几组的第几个数？并求出试问所在那组的各项的和。

项，=）1－k位于第解：设组，则前（+3…3+6+9+组共有即所以解此方程组得：，－（，所以且因为。

其中个数，是第。

组的第因此，为首项，组是以因为第为公差的等差数列，所以其所有项的和等于，其中。

例６．设奇数数列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的个数分群如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19）， (2)（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？（II）求第个群中的所有的元素之和。

解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群：（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19）， (3)由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第4个元素。

对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数列（2）中的第402个群中的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2个元素。

（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。

）的第3群2）的第若群的元素是数列（为偶数，则，则数列（个元素之和是5）的第群的，34，5个元素，由于数列（3，所以的第数列（2）中的第群的元素之和为；的第）（32则数列（）若为奇数，的第设群的元素是数列，）的第32个元素。

由于数列（个元素之和是，所以群的第1群的5，群的元素之和为中的第2）。

数列（数列7．的个位数字（）， 5：1，9，8，，……，例其中是试证明： 4是的倍数。

，则得数列：，0中为奇或偶数时，分别记为 1证明：数列1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，与1110001001，，，，，，，，，；…且的奇偶性相同。

的定义及前面得到的新数列，由于数列的一些项，可见，为周期的周期数列，即得是以15……，，，而，即在1985到 2000的这……于是16项中，奇数、偶数各有8项，由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，由此命题得证。

，，试证：对于一切例8，．已知所有的项都不是4，的倍数。

知由题设中的递推关系，的奇偶性只有三种情况：证明：方法一：均不是4奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶。

的倍数。

下中的所有项都不是面证明4的倍数。

均为奇数，是假设存在则，的倍数的最小下标，且4为偶数。

所以由于和是，得4的倍数，与所设的矛盾！因此命题得证。

方法二：由于该数列不是周期数列，但模4后得到的数列是周期数列，从开头的几项1，2，7，29，22，23，49，26，－17，……模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，……发现这是一个周期为3的周期数列。