高数期末考试
一、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 1.
=
+→x
x x sin 2
)
31(lim .
2. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =
⋅⎰x x x x f d cos )(则 .
3.
lim
(cos cos cos )→∞
-+++=2
2
221L n n n
n
n n π
π
ππ .
4. =
-+⎰
2
12
12
211
arcsin －
dx x
x x .
二、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
5. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=
x x x x x
x βα.
（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；
（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.
6.
)(
0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .
（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.
7. 若
()()()0
2x
F x t x f t dt
=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，
则（ ）.
（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；
（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；
（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

（A ）22x （B ）2
2
2x +（C ）1x - （D ）2x +.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）
8. 设函数=()y y x 由方程
sin()1x y
e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 9.
设函数)(x f 连续，
=⎰1
()()g x f xt dt
，且→=0
()
lim
x f x A x ，A 为常数. 求'()
g x 并讨论'
()g x 在=0x 处的连续性.
10. 求微分方程2ln xy y x x '+=满足
=-
1
(1)9y 的解. 四、 解答题（本大题10分）
11. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)
00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该
点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）
12. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面
图形D.
(1) 求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V . 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）
13. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
.
14. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0
)(0
=⎰
π
x d x f ，
cos )(0
=⎰
π
dx x x f .证
明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设
⎰=
x
dx
x f x F 0
)()(）
解答
一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C
二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
5. 6
e . 6.c x x +2
)cos (21　.7. 2π. 8.3π.
三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导
0,0x y ==，(0)1y '=-
10. 解：7
67u x x dx du ==
11.
解：1
03
3
()x f x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰
12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。

2
()()lim ()lim
22x
x x xf x f u du
A A g x A x
→→-'==-
=
⎰，'()g x 在=0x 处连续。

13. 解：2
ln dy y x
dx x +=
1
(1),09y C =-=，
11ln 39y x x x
=-
四、 解答题（本大题10分）
14. 解：由已知且02d x
y y x y
'=+⎰，
将此方程关于x 求导得y y y '+=''2
特征方程：022
=--r r 解出特征根：.2,121=-=r r
其通解为 x
x e C e C y 221+=-
代入初始条件y y ()()001='=，得
31,3221==
C C
故所求曲线方程为：x
x e e y 23132+=-
五、解答题（本大题10分）
15. 解：（1）根据题意，先设切点为)ln ,(00x x ，切线方程：
)(1
ln 00
0x x x x y -=
-
由于切线过原点，解出e x =0，从而切线方程为：
x e y 1= 则平面图形面积
⎰-=
-=1
121
)(e dy ey e A y
（2）三角形绕直线x = e 一周所得圆锥体体积记为V 1，则
2131e V π=
曲线x y ln =与x 轴及直线x = e 所围成的图形绕直线x = e 一周所得旋转体体积为V 2
D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积
)
3125(6221+-=
-=e e V V V π
六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）
16. 证明：1
00
()()q
f x d x q f x dx -⎰⎰1
()(()())
q
q
q
f x d x q f x d x f x dx =-+⎰⎰⎰
故有：
1
()()≥⎰⎰q
f x d x q f x dx
证毕。

证：构造辅助函数：
π
≤≤=⎰x dt t f x F x
0,)()(0。

其满足在],0[π上连续，在),0(π上
可导。

)()(x f x F ='，且0)()0(==πF F
由题设，有
⎰⎰⎰⋅+===π
ππ
π0
)(sin cos )()(cos cos )(0|dx
x F x x x F x xdF xdx x f ，
有⎰=π
sin )(xdx x F ，由积分中值定理，存在),0(πξ∈，使0sin )(=ξξF 即0)(=ξF
综上可知),0(,0)()()0(πξπξ∈===F F F .在区间],[,],0[πξξ上分别应用罗尔定理，知存在
),0(1ξξ∈和),(2πξξ∈，使0)(1='ξF 及0)(2='ξF ，即0)()(21==ξξf f .。