专题四 规律探索题类型一 数式规律探索(2017·安徽)【阅读理解】我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，那么12＋22＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋nn 个n ，即n 2.这样，该三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋32＋…＋n 2.图1图2【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数[如第(n－1)行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n]，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．【解决问题】根据以上信息发现，计算：12＋22＋32＋…＋2 0172的结果为________．1＋2＋3＋…＋2 017【分析】 第一空只需将n －1，2，n 相加即可，∵每个三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，而每个位置上三个圆圈中数的和均为2n ＋1，∴三个三角形数阵中所有圆圈中数的总和为(2n ＋1)·n （n ＋1）2，从而第二空，第三、四空易求． 【自主解答】【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现规律，并猜想出一般性结论，其中关于等式的规律探索：用含字母的代数式进行归纳，注意字母往往还具有反映等式序号的作用．1．(2019·合肥二模)观察下列等式：第1个等式：42－12－92＝3，第2个等式：52－22－92＝6，第3个等式：62－32－92＝9，第4个等式：72－42－92＝12，按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．2．(2019·淮北市濉溪县二模)观察下列式子：0×2＋1＝12……①1×3＋1＝22……②2×4＋1＝32……③3×5＋1＝42……④……(1)第⑤个式子是________，第⑩个式子是________；(2)请用含n(n为正整数)的式子表示上述规律，并证明．3．(2019·合肥包河区一模)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年的著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：(1)图中给出了七行数字，根据构成规律，第9行中从左边数第4个数是________；(2)第n行中从左边数第2个数为________；第n行中所有数字之和为________．4．(2019·安徽) 观察以下等式：第1个等式：21＝11＋11，第2个等式：23＝12＋16，第3个等式：25＝13＋115，第4个等式：27＝14＋128，第5个等式：29＝15＋145，……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式：________(用含n 的等式表示)，并证明．5．(2019·全椒县一模)已知下列等式：①(3＋1)2－(3－1)2＝4×3×1；②(5＋3)2－(5－3)2＝4×5×3；③(7＋5)2－(7－5)2＝4×7×5；④(9＋7)2－(9－7)2＝4×9×7.……(1)请仔细观察，写出第5个式子；(2)写出第n个式子，并运用所学知识说明第n个等式成立．类型二图形规律探索(2016·安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图1(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：图21＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________. 【分析】 (1)第一项和第二项的结果不难填空；(2)先判断图中第(n＋1)行的黑球的个数，然后运用倒序相加法求出1＋3＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)的和即可完成填空．【自主解答】【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作：①写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；②数图形的个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数；③寻找图形数量与序号n的关系：在寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．1．(2019·甘肃改编)如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，…….(1)第5幅图中有________个菱形，第n幅图中有 ________个菱形；(2)如果第n幅图中有2 019个菱形，求n.2．(2018·黔南州)“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…….按此规律，求图10、图n有多少个点．我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同(如图)，这样图1中黑点的个数是6×1＝6个；图2中黑点的个数是6×2＝12个；图3中黑点的个数是6×3＝18个；……所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是________、________．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：(1)第5个点阵中有________个圆圈；第n个点阵中有____________________个圆圈．(2)小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．3．(2019·瑶海区一模)下列每一幅图都是由白色小正方形和黑色小正方形组成．(1)第10幅图中有________个白色小正方形， ________个黑色小正方形；(2)第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于________(用n 表示，n是正整数)．4．(2019·合肥市长丰县模拟)用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．第①个图形中有1个正方形；第②个图形中有1＋3＝4个小正方形；第③个图形中有1＋3＋5＝9个小正方形；第④个图形中有________个小正方形(直接写出结果)；(1)根据上面的发现我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝ ________(用含n的代数式表示)；(2)请根据你的发现计算：①1＋3＋5＋7＋…＋99＝________；②101＋103＋105＋…＋199＝________．5．(2019·芜湖县二模)如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：(1)填写下表：(2)原正方形能否被分割成2 016个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点；若不能，请说明理由．6．(2019·芜湖二模)某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案，第一次拼成图案如图2所示，共用地砖4块；第二次拼成的图案如图3所示，共用地砖4＋2×4＝12块；第三次拼成的图案如图4所示，共用地砖4＋2×4＋2×6＝24块，……(1)直接写出第四次拼成的图案共用地砖________块；(2)按照这样的规律进行下去，求第n次拼成的图案共用地砖的数量(先用含n 的式子表示，后化简)．7．(2019·南陵县一模)【问题背景】在△ABC内部，有点P1，可构成3个不重叠的小三角形(如图1)．【探究发现】当△ABC内点的个数增加时(如图1～3)，探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况．(1)填表：(2)当△ABC内部有n个点(P1，P2，…，P n)时，三角形内不重叠的小三角形的个数S＝2 019，求n的值．8．(2019·安徽模拟)如图，是由边长相等的小正方形组成的几何图形，S n(n≥1)表示第n个图形中小正方形的个数．(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：图1图2(2)根据(1)中的两个结论填空：S 12＝________，S n ＝________(用含有n 的代数式表示)．参考答案【专题类型突破】 类型一【例1】 [规律探究]每个位置上三个圆圈中数的和均为n －1＋2＋n ＝2n ＋1， ∵每个三角形数阵中共有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个圆圈，∴三个空依次填2n ＋1；n （n ＋1）（2n ＋1）2；n （n ＋1）（2n ＋1）6.[解决问题] 1 345 跟踪训练1．解：(1)82－52－92＝15(2)（n ＋3）2－n 2－92＝3n证明：等式左边＝（n ＋3）2－n 2－92＝n 2＋6n ＋9－n 2－92＝6n2＝3n ＝等式右边．2．解：(1)4×6＋1＝52 9×11＋1＝102 (2)第n 个式子为(n －1)(n ＋1)＋1＝n 2，证明：∵左边＝n 2－1＋1＝n 2， 右边＝n 2， ∴左边＝右边， 即(n －1)(n ＋1)＋1＝n 2. 3．解：(1)56 (2)n －1 2n －1[解法提示]设第 n 行第 2 个数为 a n (n≥2，且n 为正整数)，观察发现规律：∵a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，a 5＝4，a 6＝5, ∴a n ＝n －1；∵第 1 行数字之和 1＝20，第 2 行数字之和 2＝21，第 3 行数字之和 4＝22，第 4 行数字之和 8＝23，∴第 n 行数字之和为 2n －1.4. 解：(1)第6个等式：211＝16＋166(2)22n －1＝1n ＋1n （2n －1）证明：∵右边＝1n ＋1n （2n －1）＝2n －1＋1n （2n －1）＝22n －1＝左边，∴等式成立．5．解：(1)第5个式子为：(11＋9)2－(11－9)2＝4×11×9.(2)第n 个式子：[(2n ＋1)＋(2n －1)]2－[(2n ＋1)－(2n －1)]2＝4(2n ＋1)(2n －1)，证明：左边＝(4n)2－22＝4[(2n)2－12]＝4(2n ＋1)(2n －1)＝右边，等式成立． 类型二【例2】 (1)42 n 2 (2)2n ＋1 2n 2＋2n ＋1[解法提示]由(1)可知题图中第(n ＋1)行的黑球个数为2n ＋1；1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＝(n ＋1)2＝n 2＋2n ＋1，1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，n 2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.跟踪训练1．解：(1)9 (2n－1)(2)2n－1＝2 019，n＝1 010.2．解：60 6n(1)61 3n2－3n＋1(2)依题意得3n2－3n＋1＝271，解得n1＝10，n2＝－9(不合题意，舍去)．所以小圆圈的个数会等于271，是第10个点阵．3．解：(1)100 40(2)n2＋4n[解法提示]第1个图形：白色小正方形1个，黑色小正方形4×1＝4个，共有1＋4＝5个；第2个图形：白色小正方形2×2＝4个，黑色小正方形4×2＝8个，共有4＋8＝12个；第3个图形：白色小正方形3×3＝9个，黑色小正方形4×3＝12个，共有9＋12＝21个；……第n个图形：白色小正方形n2个，黑色小正方形4n个，共有n2＋4n个．4．解：25(1)n2(2)①2 500②7 5005．解：(1)8 10 2(n＋1)(2)能设点数为n，则2(n＋1)＝2 016，解得n＝1 007.答：原正方形能被分割成2 016个三角形，此时正方形ABCD内部有1 007个点．6．解：(1)40(2)第一次拼成如图1所示的图案共用4块地砖，4＝2×(1×2)，第二拼成如图2所示的图案共用12块地砖，12＝2×(2×3)，第三次拼成如图3所示的图案共用24块地砖，24＝2×(3×4)，第四次拼成如图4所示的图案共用40块地砖，40＝2×(4×5)，......第n次拼成的图案共用2×n(n＋1)＝2(n2＋n)块地砖．7．解：(1)3 5 7 9(2)图1中，当△ABC内有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；图2中，当△ABC内有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；图3中，当△ABC内有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；当△ABC内有4个点时，可分割成9个互不重叠的小三角形；......根据以上规律，当△ABC内有n个点(P1，P2，…，P n)时，可以把△ABC分割成S ＝2n＋1个互不重叠的小三角形，当S＝2 019时，2n＋1＝2 019，∴n＝1 009.8．解：(1)n n2(2)78 n 2＋n2[解法提示]由S n －S n －1＝n ，S n ＋S n －1＝n 2，得 S 12－S 11＝12，S 12＋S 11＝122， 2S 12＝12＋122＝156， ∴S 12＝78.∵S n －S n －1＝n ，S n ＋S n －1＝n 2， ∴2S n ＝n 2＋n ， ∴S n ＝n 2＋n 2.。