高一数学必修4模块期末试题 第I 卷（选择题, 共50分）
一 、选择题（本大题共10小题，每小题５分，共50分） 1．0
sin 390
=( ) A ．
21 B ．2
1- C ．23
D ．2
3
-
2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是( ) A ．[0,]π B ．3[,]22ππ C ．[,]22
ππ
- D ．[,2]ππ
3．下列函数中，最小正周期为2
π
的是( ) A ．
sin y x = B ．sin cos y x x = C ．tan
2
x
y = D ．cos 4y x = ４．已知(,3)a
x =,
(3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1 ５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．8
9-
６．要得到2sin(2)3
y x π
=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )
A ．向左平移23π个单位
B ．向右平移23π个单位
C ．向左平移3π个单位
D ．向右平移
π
个单位
7．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( ) A ．3 B ．3 D ．10
８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 则点P 的坐标为 ( ) A ．(2,7)-
B ．4
(
,3)3
C ．2(
,3)3
D ．(2,11)-
9．已知2tan()5α
β+=
, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
π
α+的值为 ( ) A ．16 B ．2213 C ．322 D ．1318
10．函数
)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（
）
A. ,2
4
π
π
ω
ϕ=
=
B. ,3
6
π
π
ωϕ=
=
C. ,44
ππ
ωϕ== D. 5,44ππωϕ==
第II 卷（非选择题,
共60分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11．已知扇形的圆心角为0
120，半径为3，则扇形的面积是 12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为 13．函数
y =的定义域是 .
14. 给出下列五个命题： ①函数
2sin(2)3y x π=-的一条对称轴是512
x π
=
；②函数
tan y x =的图象关于点(
2
π
,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44
x x π
π
-
=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有 （填写正确命题前面的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15（本小题满分12分）
(1)已知4cos 5
，且为第三象限角，求sin 的值
(2)已知3tan =α，计算
α
αααsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值
16（本题满分12分）已知α为第三象限角，
()3sin()cos()tan()
22tan()sin()
f ππ
ααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()f α （２）若31
cos()25
πα-
=，求()f α的值
17（本小题满分14分）
已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =, (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.
18（本小题满分14分）
已知(1,2)a
=,)2,3(-=b ,当k 为何值时，
(1) ka b +与3a b -垂直？ (2) ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？
19（本小题满分14分） 某港口的水深
y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
经过长期观测，
()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+
（1）根据以上数据，求出
()y f t =的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
20（本小题满分14分）
已知(3sin ,cos )a
x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且()f x a b =
(1) 求函数
()f x 的解析式;
(2) 当,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.
参考答案:
一、ACDAD DDDCC
二、11.3π 12.(0,9) 13. [2,2]k k πππ+k Z ∈ 14. ①④
三、15.解：（1）∵2
2cos
sin 1αα+=，α
为第三象限角
∴
3
sin 5
α
===-
（2）显然cos 0α≠
∴ 4sin 2cos 4sin 2cos 4tan 24325cos 5cos 3sin 5cos 3sin 53tan 5337
cos αα
αααααααααα
---⨯-====++++⨯
16.解：（1）
()3sin()cos()tan()
22tan()sin()
f ππ
ααπαααπαπ-+-=---- (cos )(sin )(tan )
(tan )sin cos ααααα
α--=
-=- （2）∵31cos()25πα
-
= ∴ 1sin 5α-= 从而1
sin 5
α=-
又α为第三象限角
∴cos 5
α==-
即
()f α
的值为5
-
17.解： (1) 1
||||cos602112
a
b a b ==⨯⨯=
(2) 2
2||
()a b a b +=+
2
2
24211
3
a a
b b
=-+=-⨯+=
所以||3a b +=
18.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+
3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-
（1）()ka b +⊥(3)a b -，
得()
ka b +(3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==
（2）()//ka b +(3)a b -，得14(3)10(22),3
k k k --=+=-
此时1041
(,)(10,4)333
ka b
+=-
=--，所以方向相反。

19.解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，137102h +=
=，137
32
A -== 且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此29T πω==，29
π
ω=
， 故2()3sin 109
f t t π
=+ (024)t ≤≤
（2）要想船舶安全，必须深度()11.5f t ≥，即23sin 1011.59
t π
+≥
∴21sin 92t π≥ 2522696k t k πππππ+≤≤+ 解得：3159944k t k +≤≤+ k Z ∈
又 024t ≤≤
当0k =时，33344t ≤≤；当1k =时，3391244t ≤≤；当2k =时，33
182144
t ≤≤
故船舶安全进港的时间段为(0:453:45)-，(9:4512:45)-，(18:4521:45)-
20.解: (1)
()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x ==+-+
即
22()cos cos f x x x x m =+-
(2)
221cos 2()22
x x
f x m +=
+-
21
sin(2)62
x m π
=+
+- 由,63x ππ⎡⎤
∈
-⎢⎥⎣⎦, 52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦
, 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 211
422
m ∴-
+-=-, 2m ∴=± max 11()1222f x ∴=+-=-, 此时262
x ππ
+
=, 6
x π
=
.。