{ } 边界点：(x, y) x2 + y2 = 1或x2 + y2 = 4
3.开集及区域
定义1.3 若点集 E 的每一点都是内点，则称 E 为开集；
{ } 例如 E2 = (x, y) x2 + y2 < r 2
E3 = {(x, y) a < x < b, c < y < d} 都是开集.
{ } 但是E1 = (x, y)1 ≤ x2 + y2 < 4 不是开集.
{ } E5 = (x, y) x2 + y2 < 1或x2 + y2 > 4 都是开集，其中
E4是连通的，是区域.
{ } 相应的闭区域为 E4 = E4 ∪ ∂E = (x, y)1 ≤ x2 + y2 ≤ 4
而E5不是连通的，不是区域.
y
点集 {(x, y) x > 1} 是开集，
但非区域 .
−1o 1 x
边界，记为 ∂E.
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
例如 E1 = {(x, y) 1 ≤ x2 + y2 < 4 }是一个圆环.
{ } 内点：(x, y)1 < x2 + y2 < 4 { } 外点：(x, y) x2 + y2 < 1或x2 + y2 > 4
x2 y x4 + y2
证明：当(x,y)趋于 (0, 0) 时，
函数 f ( x , y ) 的极限不存在.
证明: 设 P(x , y) 沿x轴和y轴 趋于点 (0, 0) 时，有
x2y lim (x,0)→(0,0) x4 + y 2
=0
x2y lim (0, y )→(0,0) x4 + y 2
u=
y2 ,
v = xy
x
f ( y2 , xy) = x
(
y2 x
)2 y2
+
y2
=
y2 x2
+
y2
1.
设
f (xy,
y2 ) = x2 + y2 ,
x
求
f ( y2 , xy).
x
解法2 令
xy = v2 u
y2 = uv
y=v x=v
f ( v2 , uv) u
x
u
v2 f ( , uv) =
2. 二元函数的几何表示 称三维空间中的点集
W = {(x, y, z) z = f (x, y),(x, y)∈ D}
为二元函数 z = f ( x , y ) 的图像. 在几何上，W通常是空间一张曲面，这张曲面在坐标面 Oxy上的投影就是函数 z = f ( x , y ) 的定义域D.
例如, 二元函数 z = 1− x2 − y2
例如，在平面上
♣ {(x, y) x + y > 0 }
开区域
♣{(x, y) 1 < x2 + y2 < 4 }
♣ {(x, y) x + y ≥ 0}
♣{(x, y) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 }
y
y
闭区域
y
o
x
y
o 1 2x
o
x
o 1 2x
4.有界集与无界集
定义1.5 设点集E，若存在K>0，使得 E ⊂ U (O, K ),
定义域为圆域 { (x, y) x2 + y2 ≤ 1}
图形为中心在原点的上半球面.
又如, z = sin(xy) , (x, y) ∈ R 2
说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D
的图形一般为空间曲面 Σ .
三元函数 u = arcsin(x2 + y2 + z2 )
定义域为 单位闭球
f (xy,
y2 )
=(
v
)2
+ v2
u
xu
即
f(
y2 ,
x
xy) =
y2 x2
+
y2
§2多元函数的极限
2.1 二重极限 2.2 极限的运算法则 2.3 二次极限
2.1二重极限 1.二重极限的定义
定义2.1 设二元函数 f (P) = f (x, y) 在点P0(x0,y0)的某 o
去心邻域 U (P0 )内有定义，A为常数，若 ∀ε > 0, ∃δ > 0,
高等数学B
吉林大学数学学院 金今姬
第一章多元函数的极限和连续性
一、多元函数的概念 二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
一元函数微分学
推广 多元函数微分学
注意: 善于类比, 区别异同
§1多元函数的概念
1.1平面点集 1.2多元函数
1.1平面点集
n 元有序数组 ( x1, x2 ,⋯, xn ) 的全体称为 n 维空间, 记作 R n ,即 R n = R× R×⋯× R
使得当 0 < ρ(P0, P) = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ 时，有
f (P)− A = f (x, y)− A < ε ,
则称当P → P0 时，函数 f ( x , y ) 以A为极限，记作
lim f (P) = A
P → P0
或 lim f (x, y) = A lim f (x, y) = A
趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限
不存在 .
xy 例2.2 设 f (x, y) = x2 + y2 证明：当(x,y)趋于 (0, 0) 时，
函数 f ( x , y ) 的极限不存在.
证明: 设 P(x , y) 沿x轴和y轴 趋于点 (0, 0) 时，有
xy
xy
lim
=0
(x,0)→(0,0) x2 + y 2
。P0
平面上的方邻域为
U(P0 ,δ ) = {(x, y) x − x0 < δ , y − y0 < δ }
2.内点、外点、边界点 定义1.2 设有点集 E 及一点 P :
E
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)⊂ E ,
则称 P 为 E 的内点；
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ∅ , 则称 P 为 E 的外点 ; • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E的外 点，则称 P 为 E 的边界点. E 的边界点的全体称为E 的
∀ε > 0 取δ = 2ε 则当0 < ρ =
x2 y −0 <ε
x2 + y2
x2 y
由定义知， lim
(x, y )→(0,0)
x2
+
y2
= 0.
x2 + y2 < δ 时，有
1. 设
f
(x,
y)
=
(x2
+
y2 ) sin
x2
1 +
y2
(x2 + y2 ≠ 0)
求证：lim f (x, y) = 0.
定义x与y的线性运算为
λx + µy = ( λx1 + µy1, λx2 + µy2 ,⋯, λxn + µyn ) R n在线性运算下构成一个n维线性空间，简称为n维空间.
R n 中的点 x = (x1, x2 ,⋯, xn ) 与点 y = ( y1, y2 ,⋯, yn ) 的距离记作 ρ(x, y) 或 x − y , 规定为
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 {u u = f ( P ) ,P ∈ D }
称为函数的值域 .
特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D ⊂ R 2
当 n = 3 时, 有三元函数 u = f (x, y, z), (x, y, z) ∈ D ⊂ R3
= {( x1, x2 ,⋯, xn ) xk ∈ R , k = 1, 2,⋯, n }
n 维空间中的每一个元素 ( x1, x2 ,⋯, xn ) 称为空间中的 一个点, 数 xk 称为该点的第 k 个坐标 .
当所有坐标 xk = 0 时，称该元素为 R n 中的零元, 记作 O . 设 x = ( x1, x2 ,⋯, xn ), y = ( y1, y2 ,⋯, yn ) ∈ Rn , λ, µ ∈ R
定义1.4 设 E 为非空点集.
(1)若对E中任意两点P1和P2，总存在完全
D
属于E的折线能把P1和P2连接起来，则称 。 。
E为连通的.
(2) 若E为连通的开集，则称为开区域 ,简称区域 ;
区域E和它的边界的并称为闭区域 ,记为 E = E ∪ ∂E.
{ } 例如 E4 = (x, y)1 < x2 + y2 < 4
=0
设 P(x , y) 沿直线 y = kx2趋于点 (0, 0) , 则有
k x4
lim
x→0
f
(x,
y)
=
lim
x→0
x4
+
k 2 x4
y = kx
=
1
k +k
2
k 值不同极限不同 !
故 f (x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
2.2 极限的运算法则
定理2. 1 (四则运算) 设当 P → P0 时，极限
lim f (x, y) = A
(x, y )→(x0 , y0 )