第二讲 参数方程班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.判断以下各点,哪一个在曲线231432x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)上( )A.(0,2)B.(-1,6)C.(1,3)D.(3,4)解析:∵x=1+t 2+t 4=2213124t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为( ) 2.12.A .2x sintx tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφφ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩⎧=⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩。

解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ､C ､D,只有B 符合. 答案:B3.若直线的参数方程为1223x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数),则直线的斜率为( )2233 (3)322A B C D --解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.∴直线的斜率k=- . 答案:D4.过点M(2,1)作曲线C:44x cosy sinθθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( )A.y-1=- (x-2)B.y-1=-2(x-2)C.y-2=- (x-1)D.y-2=-2(x-1)解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直,∵kOM= ,∴弦所在直线的斜率是-2,故所求直线方程为y-1=-2(x-2).答案:B5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为2313x cos y sinθθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为10的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=310=<,所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又10,故满足题意的点有2个.答案:B6.(2010·上海)直线l的参数方程是122x ty t=+⎧⎨=-⎩(t∈R),则l的方向向量d可以是( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(1,-2)解析:化参数方程122x t y t=+⎧⎨=-⎩为一般方程得x+2y-5=0,所以直线l 的斜率为- ,∴方向向量为(-2,1),选C. 答案:C二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.若直线1223x ty t=-⎧⎨=+⎩ (t 为参数)与直线4x+ky=1垂直,则常数k=________.解析:将11237,23223.2y k x t x y t =-⎧=-+⎨=+-∴⎩=化为斜率显然k=0时,直线4x+ky=1与上述直线不垂直. ∴k≠0,从而直线4x+ky=1的斜率k 2=-4k.依题意k 1k 2=-1,即431, 6.2k k ⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭⨯ 答案:-68.(2010·武汉质检)圆C:3424x cos y sin θθ=+⎧⎨=-+⎩ (θ为参数)的圆心坐标为________,和圆C 关于直线x-y=0对称的圆C′的普通方程是________.解析:将圆C 的方程化为普通方程得(x-3)2+(y+2)2=16. ∴其圆心坐标为(3,-2).则点(3,-2)关于x-y=0的对称点为(-2,3). ∴圆C′的方程为(x+2)2+(y-3)2=16. 答案:(3,-2) (x+2)2+(y-3)2=169.在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t∈R),圆C 的参数方程为222x cos y sin θθ=⎧⎨=+⎩ (参数θ∈[0,2π)),则圆C 的圆心到直线l 的距离为________. 解析:圆C 的圆心坐标为(0,2),直线l:33x t y t =+⎧⎨=-⎩消去系数t 得:x+y=6,圆心到直线l 的距离|26|-=答案10.(2010·陕西)已知圆C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩,(α为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为ρsin θ=1,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________.解析:圆C 的普通方程为x 2+(y-1)2=1,直线l 的直角坐标方程为y=1, 解方程组221,1,(,1)11, 1.1x x x y y y y =-=⎧+-=⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩得或故直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(-1,1),(1,1). 答案:(-1,1),(1,1)评析:此题巧妙地将参数方程､极坐标方程与直角坐标方程结合起来,体现了在知识交汇处命题的指导思想,但题目又不难,也是今后命题的方向.三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.) 11.(2010·辽宁)已知P 为半圆C:x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A 的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M 在射线OP 上,线段OM 与C 的弧 AP的长度均为3π. (1)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的极坐标; (2)求直线AM 的参数方程. 解:(1)由已知,M 点的极角为,3,3M ππ且点的极径等于故点M 的极坐标为(),.33,,(1,0)6611,.62M ,AM (t ).6A x t y t ππππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛ ⎝⎭⎧⎪⎛⎫=+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎩点的直角坐标为故直线的参数方程为为参数12.(2010·福建)在直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程为3,22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,圆C 的方程为ρθ.(1)求圆C 的直角坐标方程;(2)设圆C 与直线l 交于点A,B.若点P 的坐标为),求|PA|+|PB|. 解:(1)由ρθ,得x 2+y 2即x 22=5.(2)解法一:将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程,得2235,22⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即t 2由于Δ2-4×4=2>0, 故可设t 1,t 2是上述方程的两实根,所以(((((12122212122l P t PA PB t t t t :C r l :y x 3,,4.,5,31,2,23x 3x 20.:A 1P (31,2,2,1,t t t t x y y x x x y y B ⎧+=⎪⎨=⎪⎩=+⎧+-=⎪⎨⎪=-++⎩==⎧⎧⎪⎪⎨+⎨=+=+=+=+=⎪⎪⎩⎩++=-+-=+又直线过点故由上式及的几何意义得解法二因为圆的圆心为半径直线的普通方程为由得解得不妨设又点的坐标为PA PB =+=故13.(2010·全国新课标)已知直线C 1:{2t ),C :,).,(,1(x cos x tcos y tsin y sin θααθθ=⎧=+=⎨=⎩为参数圆为参数(1)当α=3π时,求C 1与C 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线,垂足为A,P 为OA 的中点.当α变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当α=3π时,C 1的普通方程为2的普通方程为x 2+y 2=1.联立方程组()12221),1,C C 1,0,.221.y x x y ⎧⎛⎫=-⎪- ⎪⎨ ⎪+=⎪⎝⎭⎩解得与的交点为 (2)C 1的普通方程为xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin 2α,-cos αsin α). 故当α变化时,P 点轨迹的参数方程为222().P 1,21.211.41611,0,44P x sin y sin cos x y αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭为参数点轨迹的普通方程为故点轨迹是圆心为半径为的圆.评析:本题给出了两个参数方程,在解题过程中如果都用参数方程就不好做了,因此可以将其都化为普通方程,至少将其中的某个方程化为我们便于应用的普通方程,即参数方程普通化的主导思想.。