高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高三最后一题1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6,2(π，直线l 过点A 且与极轴成角为3π，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值．【答案】（1）直线lC 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（22、已知曲线C的参数方程为31x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），以直角坐标系原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹．（2）若直线的极坐标方程为1sin cos θθρ-=，求直线被曲线C 截得的弦长．【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（23、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (225225⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=为参数），若以O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=。

（1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的21，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值【答案】（1）()4222=+-y x ，052=+-y x （2）4、在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()4πρθ+=O的参数方程为cos sin x r y r θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(θ为参数，0r >)．（1）求圆心的一个极坐标；（2）当r 为何值时，圆O 上的点到直线l 的最大距离为3．【答案】（1）5(1,)4π；（2）22- 5、已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数)， （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换后得到曲线C '，设(,)M x y 为C '上任意一点，求222x y -+的最小值，并求相应的点M 的坐标．【答案】（1）圆C 的方程为224x y +=，直线L方程为20y -=．（2）当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛231，M 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--231，M 时，原式的最小值为1 6、已知直线52:12x t l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为2cos ρθ=．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为，直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，求||||MA MB ⋅的值．【答案】（1）22(1)1x y -+=；（2）18.7、在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：，曲线C 与l 有且仅有一个公共点．（1）求a 的值；（2）O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且3π=∠AOB ，求OB OA +的最大值． 8、在直角坐标系x y O 中，圆C 的方程为()2211x y -+=．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）射线:OM 4πθ=与圆C 的交点为O 、P 两点，求P 点的极坐标．【答案】（1）2cos ρθ=；（2）4π⎫⎪⎭． 9、已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为28sin 15ρρθ=-，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==ay x sin 2cos 22α(α为参数)． （1）将1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若2C 上的点Q 对应的参数为34απ=，P 为1C 上的动点，求PQ 的最小值。

【答案】（1）228150x y y +-+＝；（2110、已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C的参数方程是cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α是参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【答案】（1）03=-+y x ，2213y x +=；（2）225． 11、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=ty t x 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于A ，B 两点．（1）求AB 的长； （2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离． 【答案】（1）;（2）212、将圆122=+y x 上每一点的横坐标都伸长为原来的3倍，纵坐标都伸长为原 来的2倍，得到曲线C ．（1）求曲线C 的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的极坐标为)32,2(π，且点P 关于直线65πθ=的对称点为点Q ，设直线PQ 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的垂直平分线的极坐标方程．【答案】（1）ααα(sin 2cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数）；（2）0136sin 3cos =-+θρθρ． 13、已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+-=+=t y t x 312（t 为参数），曲线C 的极坐标方程是θθρcos 4sin 2+=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和参数方程；（2）求直线l 被曲线C 截得的弦长．【答案】（1）直角坐标方程为5)1()2(22=-+-y x ，参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x （α为参数）；（2）4．14、已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．（1）求点P 轨迹的直角坐标方程；（2）求点P 到直线l 距离的最大值．答案（2）点P 到直线l 距离的最大值4+2=6.（1）P 的轨迹的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=4.15、在直角坐标系xoy 中，直角l 的参数方程为，（t 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为（3，），当≤α≤时，求|PA|﹣|PB|的取值范围．（Ⅰ）|PA|﹣|PB|的取值范围是[﹣3，﹣3]．（Ⅱ圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y ；16、已知定点O （0，0），A （3，0），动点P 到定点O 距离与到定点A 的距离的比值是．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；（Ⅱ）当λ=4时，记动点P 的轨迹为曲线D ．F ，G 是曲线D 上不同的两点，对于定点Q （﹣3，0），有|QF|•|QG|=4.试问无论F ，G 两点的位置怎样，直线FG 能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由．试题解析：解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为（x ，y ）， 则由|PO|=|PA|得λ（x 2+y 2）=（x ﹣3）2+y 2，整理得：（λ﹣1）x 2+（λ﹣1）y 2+6x ﹣9=0，∵λ＞0，∴当λ=1时，方程可化为：2x ﹣3=0，方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，则方程可化为，+y 2=， 即方程表示的曲线是以（﹣，0）为圆心，为半径的圆． （Ⅱ）当λ=4时，曲线D 的方程是x 2+y 2+2x ﹣3=0，故曲线D 表示圆，圆心是D （﹣1，0），半径是2.设点Q 到直线FG 的距离为d ，∠FQG=θ，则由面积相等得到|QF|•|QG|sinθ=d|FG|，且圆的半径r=2.即d===1.于是顶点Q 到动直线FG 的距离为定值，即动直线FG 与定圆（x+3）2+y 2=1相切．17、在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为212242x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为4sin ρθ=．（1）求圆C 的直角坐标方程； （2）设圆C 与直线l 将于点A 、B ，若点M 的坐标为(2,1)-，求MA MB +的值．（1）22(2)4x y +-=；（2）3218、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为5232x t y t⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()24πρθ+=-A ，B 两点的极坐标分别为(2,),(2,)2A B ππ． （1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 是圆C 上任一点，求PAB ∆面积的最小值．答案（1）22(5)(2)2x y ++-=，20x y -+=；（2）4.19、已知圆C 的参数方程是ααα(sin 2cos 1⎩⎨⎧+=+=y x 为参数）．（Ⅰ）以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设直线l 和圆C 的交点为,M N ，求CMN ∆的面积．【答案】（Ⅰ）04sin 4cos 22=+--θρθρρ；（Ⅱ）2121=⋅CN CM ． 20、已知直线l的参数方程为：12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：2cos 21ρθ=．（1）以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 被曲线C截得的弦长为，求m 的值．【答案】（1）221x y -=;（2）2±．21、已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）．（1）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB m 值．（2）设()y x M ,为曲线C 上任意一点，求2x y +的取值范围．【答案】（1）1或3；（2）[2-+22、在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），将1C 上的和2倍后得到曲线2C ，以平面直角坐标系xoy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线):sin 4l ρθθ+=．（1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程；（2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值．【答案】（1）1C 的极坐标方程为1ρ=，2C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ是参数）；（2）2(1)P ，），最小值是43263-． 23、在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），曲线C 2的参数方程为（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C 1和C 2的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α（0＜α＜），将l 1逆时针旋转得到l 2：θ=α+，且l 1与C 1交于O ，P 两点，l 2与C 2交于O ，Q 两点，求|OP|？|OQ|取最大值时点P 的极坐标．【答案】曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2=4，所以C 2极坐标方程为ρ=4sinθP 极点坐标（2，）．24、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，自极点O 作直线与曲线cos 4ρθ=相交于点Q ，在OQ 上有一动点P 满足||||12OP OQ ⋅=．若点P 的轨迹为曲线1C ，方程12x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）表示的轨迹为曲线2C ．（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 与2C 交于点A 、B ，求A 、B 两点间的距离||AB ．25、已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是3212x t m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（Ⅱ）设点(),0m P ，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且1PA ⋅PB =，求实数m 的值．【答案】（Ⅰ）03=--m y x ；（Ⅱ）21+或21-26、已知直线1,:()x l t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数,曲线12cos ,:()sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数． （1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ；（2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的21,得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．【答案】（1）2；（2）553max =d 27、在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程； （2）曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，1C 与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）14:;1:2221=+=+y x C y x C ；（2）6528、在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线12cos :3sin x C y αα=-+⎧⎨=+⎩（α为参数），28cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）． （1）将12,C C 的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若1C 上的点P 对应的参数为2πα=，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l：cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离的最大值． 【答案】（1）22(2)(3)1x y ++-=，圆；（2）2216412x y +=，椭圆；（2）3.29、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线3:πθ=OM 与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．【答案】（1）θρcos 2=；（2）2.30、在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知曲线⎩⎨⎧+=+-=,sin 3,cos 4:1t y t x C （t 为参数），⎩⎨⎧==,sin 3,cos 8:2θθy x C （θ为参数）. （Ⅰ）化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若1C 上的点P 对应的参数方程为2π=t ，Q 为2C 上的动点，求PQ 中点M 到直线7)sin 2(cos :3=-θθρC 的距离的最小值. 【答案】解：（Ⅰ）222212(4)(3)11649x y C x y C ++-=+=：，：．31、平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程2x y t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为224x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；（2）求直线l 和圆C 的交点的极坐标（要求极角[)0,2θπ∈）．【答案】（1）cos 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ρ=；（2）(2,0)，22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭． 32、极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线θϕ=，4πθϕ=+，4πθϕ=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：|||||OB OC OA +=；（2）当12πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．11试题分析：（1）依题意先表示出||OA ，||OB ，||OC ，根据三角函数公式得||||OB OC +=|OA ϕ=．（2）把,B C 两点的极坐标2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，6π⎛⎫- ⎪⎝⎭化为直角坐标为(3,B C ，又因为经过点,B C的直线方程为2)y x =-，所以22,3m πα==1。