二次函数系数a、b、c与图像的关系
1．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的（）
A B．C．D．
2.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，
则下列结中，正确的是（）
A.a＞0
B.b＜0
C.c＜0
D.a+b+c＞0
3.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），
下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）
A .1 B.2 C.3 D.4
4.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）.
下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线
上的两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（）
A．①②B．②③C．②③④D．①②④
5.如图,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴x=﹣1．
给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③3a+c=0；④a+b+c=0．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤4a-2b+c＜0，则正确的结论是（）
A.①②③④
B.②④⑤
C.②③④
D.①④⑤
7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如下图所示，有下列5个结论：
①abc＜0；②a-b+c＞0；③2a+b=0；④b2- 4ac＞0；
⑤a+b+c＞m（am+b）+c（m＞1的实数），
其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二次函数七大综合专题二次函数与三角形的综合题
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
二次函数与平行四边形的综合题
例1：如图，对称轴为直线x=
2
7
的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； ①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？
②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A 、B 两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA 面积的2倍，因此可根据E 点的横坐标，用抛物线的解析式求出E 点的纵坐标，那么E 点纵坐标的绝对值即为△OAE 的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE 的面积与x 的函数关系式进而可得出S 与x 的函数关系式．
①将S=24代入S ，x 的函数关系式中求出x 的值，即可得出E 点的坐标和OE ，OA 的长；如果平行四边形OEAF 是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF 是否为菱形． ②如果四边形OEAF 是正方形，那么三角形OEA 应该是等腰直角三角形，即E 点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E 点．
O
y
x
P G
F
N
M
E D C B
A 图1K
O
y
x
C B
A
图2
与图形的平移与旋转变换性质有关的综合题
如图1，二次函数1x 2-x 2
1y 2
+=
的图象与一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（0,1），点B 在第一象限内，点C 是二次函数图象的顶点，点M 是一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象与x 轴的交点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为N ，且S △AMO ︰S 四边形AONB =1︰48。
（1）求直线AB 和直线BC 的解析式；
（2）点P 是线段AB 上一点，点D 是线段BC 上一点，PD//x 轴，射线PD 与抛物线交于点G ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，PF ⊥BC 于点F ，当PF 与PE 的乘积最大时，在线段AB 上找一点H （不与点A ，点B 重合），使GH+
22BH 的值最小，求点H 的坐标和GH+2
2
BH 的最小值； （3）如图2，直线AB 上有一点K （3,4），将二次函数1x 2-x 2
1y 2
+=
沿直线BC 平移，平移的距离是t(t ≥0)，平移后抛物线上点A ，点C 的对应点分别为点A /
，点C /
；当△A /C /
K 是直角三角形时，求t 的值。
与直角三角形性质有关的综合题
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B.
⑴若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
⑵在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
⑶设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
与相似三角形性质有关的综合题
如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
二次函数与圆的性质有关的综合题
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2+4mx﹣5m（m＜0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），该抛物线的对称轴与直线y=x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线y=x上（不与原点重合），连接PD，过点P作PF⊥PD交y轴于点F，连接DF．
（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为6，求抛物线的解析式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）如图②所示，小红在探究点P的位置发现：当点P与点E重合时，∠PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线y=x上任意一点P（不与原点重合），∠PDF的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．
二次函数与方程根和关系的关系、函数值大小比较有关的综合题
已知抛物线
2
y＝mx＋(1－2m)x＋1－3m与x轴相交于不同的两点A、B,
（1）求m的取值范围
（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；
（3）当1
＜m≤8
4
时，由（2）求出的点P和点A、B构成的△ABP的面积是否有最值，若有，求出最值及
相对应的m值；若没有，请说明理由.。