统计概率知识点梳理总结第一章随机事件与概率一、教学要求1•理解随机事件的概念，了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算.2•了解概率的各种定义，掌握概率的基本性质并能运用这些性质进行概率计算. 3.理解条件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，并能运用这些公式进行概率计算.4•理解事件的独立性概念，掌握运用事件独立性进行概率计算5•掌握贝努里概型及其计算，能够将实际问题归结为贝努里概型，然后用二项概率计算有关事件的概率.本章重点：随机事件的概率计算.二、知识要点1•随机试验与样本空间具有下列三个特性的试验称为随机试验：(1)试验可以在相同的条件下重复地进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，但事先知道每次试验所有可能的结果；(3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.试验的所有可能结果所组成的集合为样本空间，用门表示，其中的每一个结果用e表示，e称为样本空间中的样本点，记作门二{e}.2•随机事件在随机试验中，把一次试验中可能发生也可能不发生、而在大量重复试验中却呈现某种规律性的事情称为随机事件（简称事件）•通常把必然事件（记作】）与不可能事件（记作）看作特殊的随机事件.3 . **事件的关系及运算（1）包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A , 记作A B（或B二A）.⑵相等：若两事件A与B相互包含，即A二B且B二A ,那么, 称事件A与B相等，记作A二B .（3）和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件, 记作A _• B n个事件A A2,山，A中至少有一事件发生”这一事件称为nIJ AA, A2，III，A n 的和，记作A l A2 11（ A n （简记为宫）.（4）积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作A^B（简记为AB）;“n个事件A，A川，A n同时发生”这一事件称为n1AA, A2，川，A n的积事件，记作A i「A2-山-人（简记为AAJHA n或L ）.（5）互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB = • •，那么称事件A与B互不相容（或互斥），若n个事件A1，A2，山，A n中任意两个事件不能同时发生，即AA j =（1 < i<j w几），那么，称事件A，A2，川，A n互不相容.（6）对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB = •且A 一B —，那么，称A与B是对立的•事件A的对立事件（或逆事件）记作A .（7）差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作A-B（或AB）(8) 交换律：对任意两个事件A 和 B 有A .B = B 1 .A , AB = BA .(9) 结合律：对任意事件A , B , C 有Au(BuC) =(Au B).CAc (BcC) = (Ac B)c C> •(10) 分配律：对任意事件A, B, C 有Au(BcC) =(Au B)c (AuC)Ac(B.C) =(Ac B)u (A^C)(11)德U 摩根(De Morgan )法则：对任意事件 A 和B 有A 一B 二 A 一 B , A 一 B 二 A 一 B .4 .频率与概率的定义 (1) 频率的定义设随机事件A 在n 次重复试验中发生了nA次，则比值nA/n 称为随机事件A 发生P({e}) =P({e») =ill = P(g})在古典概型中，规定事件 A 的概率为A 中所含样本点的个数P （A = I ■■中所含样本点的个数（4） 几何概率的定义如果随机试验的样本空间是一个区域（可以是直线上的区间、平面或空间中的区域），且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A 的概率为aA 的长度（或面积、体积）的频率，记作f n (A)，即f n (A)£n .(ii)n AP（A）=样本空间的的长度（或面积、体积）•（5）概率的公理化定义设随机试验的样本空间为,随机事件A是门的子集，P（A）是实值函数，若满足下列三条公理：公理1 （非负性）对于任一随机事件A,有P（A）>0；公理2 （规范性）对于必然事件门，有PC）二1；公理3 （可列可加性）对于两两互不相容的事件A'AzjlbAnNl，有cd oOP（U A）八P（A）i 1 i d则称P（A）为随机事件A的概率.5 . **概率的性质由概率的三条公理可导出下面概率的一些重要性质（1）P（）".⑵（有限可加性）设n个事件AA，川人两两互不相容，则有P(A _• A ?— 代)八 P(A)i 4.(3) 对于任意一个事件A :P(A) =1 _ P(A)⑷若事件A, B 满足A B ，则有P (B - A) =P(B) - P(A)5P(A)乞 P(B).(5) 对于任意一个事件A ,有P( A)叮.(6) ( 加法公式)对于任意两个事件A , B,有P(A B) =P(A) P(B) - P(AB)对于任意 n 个事件A n ，有nP( A i An\)八 P(AJ-、P(AA j )'p (AA j AQ-|l| (-1)n 」P(A"IA n )i 壬 1巴直 1知6 . **条件概率与乘法公式设A 与B 是两个事件.在事件B 发生的条件下事件 A 发生的概率称为条件概率，记 作 P(A|B) •当P(B) 0，规定在同一条件下，条件概率具有概率的一切性质.乘法公式：对于任意两个事件A 与B,当P(A) 0,P(B) 0时，有P(AB) = P(A)P(B | A) =P(B)P(A| B)7 . *随机事件的相互独立性P(A| B)二P(AB) P(B)如果事件A与B满足P(AB)二P(A)P(B) 那么，称事件A与B相互独立.关于事件A,月的独立性有下列两条性质：(1)如果P(A) 0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(B|A)二P(B)；如果P(B) 0，那么，事件A与B相互独立的充分必要条件是P(A|B)r P(A).这条性质的直观意义是“事件A与B发生与否互不影响”.(2)下列四个命题是等价的：(i)事件A与B相互独立；(ii)事件A与B相互独立；(iii)事件A与B相互独立；(iv)事件A与B相互独立.对于任意n个事件A，A2,川,A n相互独立性定义如下：对任意一个k=2」|l,n，任意的1斗汕(：：：i k “，若事件AAIHA总满足P(r |l(A k)二P(AJ川P(AJ则称事件AA，山，A n相互独立•这里实际上包含了2n - n-1个等式.8. *贝努里概型与二项概率设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A)二P(°”：p :：1)，则在n次重复独立试验中.，事件A恰发生k次的概率为m ） k n kP n （k ） = h p （1—p ） ,k=o,1,|||,n l k 丿称这组概率为二项概率.9 . **全概率公式与贝叶斯公式、P(A)P(B|A)i 4第二章离散型随机变量及其分布一、教学要求1 .理解离散型随机变量及其概率函数的概念并掌握其性质，掌握0-1分布、二项分布、泊松（Poisson ）分布、均匀分布、几何分布及其应用.2 •理解二维离散型随机变量联合概率函数的概念及性质；会利用二维概率分布计 算有关事件的概率.3 .理解二维离散型随机变量的边缘分布，了解二维随机变量的条件分布.4. 掌握离散型随机变量独立的条件.5. 会求离散型随机变量及简单随机变量函数的概率分布.本章重点：离散型随机变量的分布及其概率计算.、知识要点 1 .一维随机变量全概率公式：如果事件i = 12111,n ，则AAlllA 两两互不相容，且P(A) oP(A k |B)二P(AQP(B| AQn若对于随机试验的样本空间 门中的每个试验结果e，变量X 都有一个确定的实数值 与e 相对应，即X =X(e)，则称X 是一个一维随机变量.概率论主要研究随机变量的统计规律，也称这个统计规律为随机变量的分布. 2 . **离散型随机变量及其概率函数如果随机变量X 仅可能取有限个或可列无限多个值，则称 X 为离散型随机变量.设离散型随机变量X 的可能取值为a(i“2m, n,HI),P i =P(X =3i ), i =1,2,|l(, n,l|l.QO£ Pi = 1若y ，则称P i (i"2川，n,M)离散型随机变量X 的概率函数，概率函数也可用 下列表格形式表示：3. *概率函数的性质无 Pi =1 ⑵心 .由已知的概率函数可以算得概率P(X S )八 P ia i Ws其中，s 是实数轴上的一个集合.4. *常用离散型随机变量的分布(1) P i 启0 , i =12川,n,HI;⑴0—1分布B(1，P)，它的概率函数为P(X =i) *'(1一卩)1」其中，i =0或1, Q P :: 1.(2) 二项分布B(n, p)，它的概率函数为⑴i nP(X=i)= . p'(1—p)nU丿其中，i =0,1,2川|, n , 0 c p c1 .(4 )泊松分布P(')，它的概率函数为iP(X =i) e_，i!,其中，i =0,1,2川I,n,|||，人>0 .(5 )均匀分布，它的概率函数为1P(X 二a)二n ,其中i =0,1,2,111, n丿、I ? ♦5.二维随机变量若对于试验的样本空间11中的每个试验结果e ,有序变量(X，丫)都有确定的一对实数值与e相对应，即X=X(e) , 丫二丫(e),则称(X,Y)为二维随机变量或二维随机向量.6. *二维离散型随机变量及联合概率函数如果二维随机变量（X，Y）仅可能取有限个或可列无限个值，那么，称（X，Y）为二维离散型随机变量.二维离散型随机变量（X,Y）的分布可用下列联合概率函数来表示：P（X=a i,Y=b j） = p, i,j=1,2,川，P j -0, i, j =1,2, Hl,二P j =1其中，i j•7•二维离散型随机变量的边缘概率函数设（X,Y）为二维离散型随机变量，P ij为其联合概率函数（i,j=12HI ），称概率P（X二a i）（i =1,2JIO为随机变量X的边缘概率函数，记为p L并有p.= P（X =印）=瓦p「i =1,2川j,称概率P（Y = b j ）（j二1,2,川）为随机变量Y的边缘概率函数，记为P.j，并有p P（丫=b j）P j, j=1,2」11P.j = i8•随机变量的相互独立性设（X,Y）为二维离散型随机变量，X与Y相互独立的充分必要条件为P j 二P iL P_j ,对一切i, j =1,2,|l|.多维随机变量的相互独立性可类似定义•即多维离散型随机变量的独立性有与二维相应的结论.9.随机变量函数的分布设X是一个随机变量，g（x）是一个已知函数，丫二g（x）是随机变量X的函数，它也是一个随机变量.对离散型随机变量X，下面来求这个新的随机变量Y的分布.(2) 概率的统计定义在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率f n(A)在一个稳定的值P(0< P<1)附近摆动，规定事件A发生的频率的稳定值P为概率，即P(A)二p.(3) ** 古典概率的定义具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：(i) 试验的样本空间门是个有限集，不妨记作门二｛乳佥,川，弓｝；在每次试验中，每个样本点e(i =1,2 3^l，n)出现的概率相同，即。