V =V0
∂ 2U 体弹性模量 K = ( 2 )V0 ⋅V0 ∂V
K = U0 mn 9V0
mn (−U 0 ) 9V02
4）若取 m = 2, n = 10, r0 = 0.3 nm, W = 4 eV 计算 α , β 的值
r0 = ( nβ n − m ) mα
1
1 m nβ n−−m W = α (1 − )( ) m 2 n mα
—Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
w
∑
j
6 ⎡ ′ −12 ⎛ σ ⎞12 ⎤ 1 −6 ⎛ σ ⎞ ′ U = N • (4ε ) ⎢∑ P ij ij ⎜ ⎜ ⎟ −∑ P ⎟⎥ 4 R R ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ j ⎢ ⎣i ⎦ 6 ⎡ ′ −12 ⎛ σ ⎞12 ⎤ σ ⎛ ⎞ −6 ′ = 2Nε ⎢∑ P ij ij ⎜ ⎜ ⎟ −∑ P ⎟ ⎥. R R ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎥ j ⎢ ⎣i ⎦
晶体内能
w
∂U ∂U ∂r N mα nβ 1 = = ( m +1 − n +1 ) ∂V ∂r ∂V 2 r r 3 NAr 2
∂ 2U N ∂r ∂ mα nβ 1 = [( m +1 − n +1 ) ] 2 ∂V 2 ∂V ∂r r r 3 NAr 2
∂ 2U ∂ 2U K = ( 2 )V0 ⋅ V0 ∂V 2 ∂V 体弹性模量
解答（初稿）作者
季正华
-3-
黄昆 固体物理 习题解答
根据卡尔森（Coulson）定义的电离度，Ⅲ-Ⅴ族化合物（q*＝0）的电离
fi = p A − pB 1 − λ 2 1 − 3 / 5 = = = 1/ 4 = 0.25 p A + pB 1 + λ 2 1 + 3 / 5
度为
2.6 用林纳ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－琼斯势计算 Ne 在体心立方和面心立方结构中的结合 能之比值。
′ ωbcc u (r0 )bcc A62 A6 12.252 / 9.11 = = ( ) /( ) = = 0.957 ′ 14.452 /12.13 ω fcc u (r0 ) fcc A12 A12
2.7 对 于 H2 ， 从 气 体 的 测 量 得 到 的 林 纳 德 － 琼 斯 势 参 数 为
当 x=1 时，有 1 −
1 1 1 + − + ... = l n 2 ∴α = 2l n 2 2 3 4
2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响 （排斥势看作不变）
解： u ( r ) = −
α e2
r
+
由
du α e2 nC α e2 nC |r0 = 2 − n +1 = 0 解得 2 = n +1 dr r0 r0 r0 r0
2) 结合能 W（单个原子的） 3) 体弹性模量 4) 若取 m = 2, n = 10, r0 = 0.3 nm, W = 4 eV 计算 α , β 的值
解：1) 平衡间距 r0 的计算
U (r ) =
1 nβ n − ) m mα
晶体内能 所以 2)
r0 = (
dU N α β (− m + n ) dr r 2 r 平衡条件
α e2
1 (1 − ) 当 e 变为 2e 时，有 r0 n
n 4α e 2 1 (1 − ) = u (e) × 4 n −1 r0 (2e) n
2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为 计算: 1) 平衡间距 r0
解答（初稿）作者 季正华 -1-
u (r ) = −
α
r
m
+
β
rn
黄昆 固体物理 习题解答
β=
W 10 r0 2
α = r02 [
β = 1.2 × 10-95 eV ⋅ m10
3
2.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线 的方向，求共价键之间的夹 角。
解： sp 3 轨道杂化过程形成的共
价键如右图所示：
由于形成的是正四面体结构，容 易通过几何知识解出键角为
w
109°28′ (请读者自己推导求解)
w
. e h c 3 . w
i
o
m o c
′ P −6 = 14.45392; ∑ ′Pij −12 = 12.13188, ij
ε = 50 ×10−16 erg , σ = 2.96 A, N = 6.022 × 1023 / mol.
解答（初稿）作者
季正华
-4-
黄昆 固体物理 习题解答
将R 0 代入U 得到平衡时的晶体总能量为
12 6 ⎡ ⎛ 2.96 ⎞ ⎛ 2.96 ⎞ ⎤ − U = 2 × 6。 022 × 1028 / mol × 50 × 10−16 erg × ⎢(12.13) ⎜ 14.45 ( ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ≈ −2.55 KJ / mol. ⎝ 3.16 ⎠ ⎝ 3.16 ⎠ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣
因此，计算得到的 H 2 晶体的结合能为 2．55KJ／mol，远大于实验观察值 0.75lKJ／mo1．对于 H 2 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考 虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因．
w
∂U ∂V
U (r ) =
. e h c 3 . w
α
r
m
+
β
r
n
)
r = r0
r0 = (
1 nβ n − ) m mα
m o c
N α β (− m + n ) r 2 r
V =V0
N 1 m 2α n 2 β mα nβ = [− m + n − m + n ] 2 9V02 r0 r0 r0 r0
ε = 50 × 10 −13 J , σ = 2.96 A 计算H2 结合成面心立方固体分子氢时的结合能
o
（以千焦耳每摩尔为单位） ，每个氢分子可以当作球形来处理，结合 能的实验值为 0.751 kJ / mol ，试与计算值进行比较。
解： 以 H 2 为基团，组成 fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按 Lennard
2.5 假设Ⅲ-Ⅴ族化合物中，Ⅲ族、Ⅴ族原子都是电中性的（q*＝0） ， 求出其电离度 fi 。
解：对于Ⅲ族原子的有效电荷为 q* = (3 − 8
w
. e h c 3 . w
β
r010 + 2W ]
α = 7.5 × 10 −19 eV ⋅ m 2
m o c
λ2 )=0 2 1+ λ2 解出 λ = 3 / 5
=0
r = r0
−
即
mα nβ + =0 r0m +1 r0n +1
单个原子的结合能
1 W = − u (r0 ) 2
u (r0 ) = (−
1 m nβ n−−m W = α (1 − )( ) m 2 n mα
3） 体弹性模量
K =( ∂ 2U )V ⋅ V0 ∂V 2 0
3 晶体的体积 V = NAr —— A 为常数，N 为原胞数目
由平衡条件
=
V =V0
N mα nβ 1 ( m +1 − n +1 ) =0 2 r0 r0 3 NAr02
解答（初稿）作者
季正华
-2-
黄昆 固体物理 习题解答
mα nβ = n r0m r0
∂ 2U ∂V 2
=
V =V0
N 1 m 2α n 2 β [ − + n ] 2 9V02 r0 r0m ∂ 2U ∂V 2 =
σ ⎤ 1 σ ⎤ ⎡σ ⎡ σ 解： u (r ) = 4ε ⎢( )12 − ( ) 6 ⎥ , u (r ) = N (4ε ) ⎢ An ( )12 − Al ( ) 6 ⎥ 2 r ⎦ r r ⎦ ⎣ r ⎣
A62 A12 6 1 ⎛ du (r ) ⎞ 6 r u = 0 ⇒ = 2 σ ⇒ = − N ε 0 0 ⎜ ⎟ A6 2 A12 ⎝ r ⎠r
黄昆 固体物理 习题解答
第二章 晶体的结合
2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为 α = 2l n 2
解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这
样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相 邻离子间的距离，于是有
α
r
= ∑′
j
(±1) 1 1 1 1 = 2[ − + − + ...] rij r 2r 3r 4r
前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 ri 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 α = 2[1 −
x 2 x3 x 4 Ql n (1 + x) = x − + − + ... 2 3 4
w
w
. e h c 3 . w
-5-
m o c
解答（初稿）作者
季正华
于是当 e 变为 2e 时，有 r0 (2e) = (
w
结合能为 u (r0 ) = −
u (2e) = −
w
. e h c 3 . w
1 1 1 + − + ...] 2 3 4
m o c
C rn
r0 (e) = (
nC n1 ) −1 2 αe
1 nC n1 −1 n −1 ) = 4 r0 (e) 4α e 2