A． B． C． D．
13．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（ ）
A．“弦” 米，“矢” 米
（2）当 时，函数 的最大值与最小值的和为 ，求实数 的值．
24．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)设g(x)＝log4 ，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
25．设函数 是定义域为 的奇函数．
（1）若 ，求使不等式 对一切 恒成立的实数 的取值范围；
B．按照经验公式计算所得弧田面积（ ）平方米
C．按照弓形的面积计算实际面积为（ ）平方米
D．按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )
14．已知函数 设 表示 中的较大值， 表示 中的较小值，记 得最小值为种新运算： ，已知函数 ，若函数
恰有两个零点，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题)
评卷人
得分
二、填空题
16．已知函数 的图象如图所示，则 _____．
17．若 的图象过点 ，则 ______.
18． _____.
19．已知函数 的定义域是 ，且满足 ， ，如果对于 ，都有 ，则不等式 的解集为_____．
12．B
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式作出 的图象，由题意得出 为奇函数，根据函数关于原点对称作出 的图象，由数形结合得出答案.
【详解】
由分段函数的解析式作出 的图象，由题意得出 为奇函数，根据函数关于原点对称作出 的图象，所以其图象如图：
由图可知，若关于 的方程 （ ）恰有5个不同的实数根，则 ,
湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年高一下学期
入学考试-数学试题
第I卷（选择题)
评卷人
得分
一、单选题
1．已知 ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ，那么实数 的值是（）
A．4B．1C．2D．3
3．已知 = ,若 ,则 等于
A．5B．7C．9D．11
4．设 是第三象限角，且 ，则 所在象限是（）
是第三象限角，
， ，
， ，
在第二、四象限，
又 ， ，
在第二象限.
故选：B.
【点睛】
本题考查由三角函数式的符号判断角所在象限的问题，考查逻辑思维能力和分析能力，属于常考题.
5．B
【解析】
A.
B．
C．
D．
故答案为B.
6．B
【解析】
【分析】
易得 ， ，再由 ，可得 ，解出 即可.
【详解】
如图：
因为 ， 分别为 的边 ， 上的中线，所以有：
20．如图， 中， ， ，O为BC的中点，以O为圆心，1为半径的半圆与BC交于点D，P为半圆上任意一点，则 的最小值为_____．
评卷人
得分
三、解答题
21．已知向量 ，向量 .
（1）求向量 的坐标；
（2）当 为何值时，向量 与向量 共线.
22．（1）计算： .
（2）若 ，求 .
23．已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数 的图象过点 ，是否存在正数 ，使函数 在 上的最大值为0？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
由交集的定义直接求解即可.
【详解】
， ，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查交集的求法，属于基础题.
2．C
【解析】
【分析】
先求出 ， 变成 ，可得到 ，解方程即可得解.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．下列各式中，值为 的是（）
A． B． C． D．
6．已知 ， 分别为 的边 ， 上的中线，且 ， ，则 为（）
A． B． C． D．
7．函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 为减函数，且 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点 ， ， ， ，则向量 在 方向上的投影为（ ）
10．C
【解析】
由题意可得：
,
设 ，则 三点共线.
当MN与BD重合时， 最大，且 ，
据此：
本题选择C选项.
11．C
【解析】
【分析】
将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角差的余弦化 ，整理运算即可.
【详解】
.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，切”化“弦”是关键，考查分析与运算能力，属于中档题.
【详解】
， 变成 ，即 ，解之得： .
故选：C.
【点睛】
本题考查已知函数值求参数的问题，考查分段函数的知识，考查计算能力，属于常考题.
3．B
【解析】
因为 = ,所以 = ,则 = = = .
选B.
4．B
【解析】
【分析】
先由 是第三象限角，得出 可能在第二、四象限，进一步由 再判断出 所在的象限.
【详解】
， ， ，
整理得： ，解得： .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理和加减法的几何意义，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
7．A
【解析】
函数 是定义在 上的奇函数，当 时， 为减函数，，故函数 在 上单调递减，又 ，因此 .
故选A.
点睛：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数 在区间上单调递增，则 时，有 ，事实上，若 ,则 ，这与 矛盾，类似地，若 在区间上单调递减，则当 时有 ；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.
A． B． C． D．
9．函数 的图像大致是（）
A． B．
C． D．
10．正方形 边长为 ，中心为 ，直线 经过中心 ，交 于 ，交 于 ， 为平面上一点，且 则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
11． （）
A．1B． C． D．
12．已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，若关于 的方程 （ ）恰有5个不同的实数根 ， ， ， ， ，则 的取值范围是（）
8．B
【解析】
则向量 在 方向上的投影为
故选B
9．D
【解析】
【分析】
根据函数的形式和图象，分 和 两种情况去绝对值，判断选项.
【详解】
当 时， ，
当 时，
只有D满足条件.
故选：D
【点睛】
本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型.一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.