双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。

取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。

设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。

将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：12222=-by a x两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：12222=-by a x ，我们将222b a c +=代入，可得：()ac ca x c x y =±±+22 所以有：双曲线的第二定义可描述为：平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (ca x 2±=)的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率；（2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e a c a a c a b k ；因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线a y l 22:=。

3、双曲线的焦半径：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 12222>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e cax MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：其中12F F 、分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： 1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围：a x a x -≤≥或（焦点在x 轴上）或者a y a y -≤≥或（焦点在y 轴上）。

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0)， A ＇(a,0)。

同时 AA ＇叫做双曲线的实轴且∣AA ＇│=2a ； B(0,-b)， B ＇(0,b)。

同时 BB ＇叫做双曲线的虚轴且│BB ＇│=2b 。

4、渐近线： 由22222222221x b a b x y b y a x -=-⇒=-，当abx y y x ±→∞→∞→时，,所以：双曲线的渐近线方程为： 焦点在x 轴：x a b y ±=，焦点在y 轴：y abx ±=5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a │ 左焦半径：r=│ex+a │6、共轭双曲线双曲线S: )0,0( 12222>>=-b a b y a x ，双曲线 )0,0( 1:2222>>=-'b a ax b y s 双曲线S ＇的实轴是双曲线S 的虚轴 且双曲线S ＇的虚轴是双曲线S 的实轴时，称双曲线S ＇与双曲线S 为共轭双曲线。

特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于17. 焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：例1：已知双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的渐近线是x a by ±=，我们可以判断直线m kx y +=与双曲线的交点个数①当直线m kx y +=的斜率abk =时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，如果，则它与双曲线有一个只有一个交点。

②当直线m kx y +=的斜率⎪⎭⎫⎝⎛-∈a b a b k ,时，则m kx y +=与双曲线有两个交点。

③当直线m kx y +=的斜率⎪⎭⎫⎝⎛∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈，a b a b k ,时，则m kx y +=与与双曲线没有交点例2 已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．解：由可得，从而，解得． 又因为的渐近线方程是，所以.故例3 已知双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是解：由已知可知,所以例4 双曲线14922=-y x 上一点P 与左右焦点21,F F 构成21PF F ∆，求21PF F ∆的内切圆与边21F F 的切点N 的坐标。

分析：设点P 在已知双曲线的右支上，要求点N 的坐标。

即求ON 的长度，而22NF OF ON -=，其中132==c OF ，只需求2NF 的长度，即2NF 是圆⊙M 的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。

解：设点P 在已知双曲线的右支上，由题意得212122PF F F PF NF -+=，a PF PF 212-=-，∴a c ca NF -=+-=2222，又13=∴c ，3=a ，∴3132-=NF ，又132==c OF ，∴)313(1322--=-=NF OF ON当点P 在已知双曲线的右支上时，切点N 为顶点)0,3(,当点P 在已知双曲线的左支上时，切点N 为顶点)0,3(-例5 已知21F F 、是双曲线116922=-y x 的左右焦点，P 在双曲线的左支上，α=∠12F PF ，β=∠21F PF ，求2cot2tanβα⋅的值分析：如右图，先做出21F PF ∆的内切圆⊙M ，则⊙M 切21F F 于点A ，MA 等于内切圆的半径。

且212α=∠F MF ，21β=A MF解：做出21F PF ∆的内切圆⊙M ，则⊙M 切21F F 于点A ，212α=∠F MF ，21β=A MF ，∴82tan 2r c a r AF AM =+==α，rr a c AM AF 22cot 2=-==β，∴41282cot 2tan =⋅=⋅r r βα例6 设21F F 、是曲线1C :12622=+y x 的焦点， P 为曲线2C :1322=-y x 与1C 的一个交点，则2121PF PF ⋅的值1PF 2PF 之间的关系。

m =n =，不妨设n m >，显然椭圆和双曲线共焦点)0,2(±，由椭圆和双曲线的定义可知62=+n m 且32=-n m∴36+=m ，36-=n 在三角形21F PF ∆中，由余弦定理可知312)2(2cos 22221221222121=-+=⋅-+=∠mn c n m PF PF F F PF PF PF F31cos 21==PF F 例7 已知21F F 、是双曲线12222=-by a x 的左右焦点，过1F 作倾斜角为o 30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，求双曲线的离心率.解析：由题意的c F F 221=，c c MF 3326tan22=⋅=π，c c MF 3346cos 21==π由定义知a c MF MF 233221==-，则3=e 。

例8 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为)0,(1c F -)0,(2c F 若双曲线上存在一点P 使得212PF PF =，求双曲线离心率的范围。

解析：由双曲线的定义a PF PF 221=-，a PF 41=，在21F PF ∆中，结合双曲线的图像2121F F PF PF ≥+，∴c a 26≥，即31≤≤e例9 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为)0,(1c F -)0,(2c F ，以21F F 为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。

解析：设P 为圆与双曲线在第二象限的交点，则221π=∠PF F ，321π=∠F pF ，在21PF F Rt ∆中，a c c c PF PF 2)13(3cos23sin212=+=-=-ππ13+==∴ace 例10 已知双曲线12222=-by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为双曲线上任意一点，21PF F ∠的内角平分线为l ，过l F 做2的垂线2F M ，设垂足为M ，求点M 的轨迹。

解析：延长M F 2交P F 1于N 由角平分线及垂直关系得PN PF =2，有OM 是N F F 21∆的中位线，从而a PF PF PN PF NF OM =-=-==)(21)(2122111，故a OM =为定值，即点M 的轨迹是以坐标原点为圆心，a 为半径的圆（去掉与x 轴的交点） 方程为)(222a x a y x ≠=+例11、已知⊙A ：49)5(22=++y x ，⊙B ：1)5(22=+-y x ，若⊙P 与⊙A 内切与⊙B 外切，求⊙P 的圆心的轨迹方程。