为 et Nt H 1 ct wt l 。使成本和收益相等，得：
et
Nt H
b 1 lt
l
et
Nt H
1 ct
wtl
或：
ct wt 1 lt b
4.4 模型的特殊情形
简化假定 排除政府，完全折旧
Kt1 Yt Ct
1 rt
At Lt Kt
1
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一阶条件为：
b 1 l1
w1
e b 1 l2
1 1 r
w2
整理得：
eb 1 r b 1 1 l2 w2 1 l1 w1
或：
1 l1 1 l2
e
1
1 r
w2 w1
不确定性条件下的家庭最优化
假设家庭将每成员平均消费减少微小的数量，如 c ，然后利用由此得到的更多财富来
把下一期的每成员平均消费增加到原有消费的水平之上。如果家庭的行为是最优化的，则这
生产函数为柯布一道格拉斯形式， t 期的产出为：
Yt
K
t
At Lt 1
，0
1
产出在消费（ C ）、投资（ I ）以及政府采购（ G ）之间进行分配。每期资本的折旧比
例是 。因此， t 1 期的资本存量为：
Kt1 Kt It Kt Kt Yt Ct Gt Kt
政府采购由总量税融资，假定各期的税收等于政府采购。
庭数量，因而 Nt H 是家庭成员数。人口以外生的速率 n 增长： ln Nt N nt ， n
可得： Nt eN nt
由于所有家庭都相同，c C N ，l L N 。假设 u 是这两个自变量的对数线性函数：
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1
ct
e Et
1
ct
1
1 rt 1
上式右边的表达式并非等于 e Et 1 1 ct1 Et 1 rt1 ，当期消费与未来消费之间的替代
并非仅仅取决于对未来边际效用和收益率的期望值，而且还取决于两者的相互作用：
1
c1
1 1 r
c2
w1l1
1 1 r
w2l2
其中， r 为真实利率。拉格朗日函数为：
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L ln c1 b ln 1 l1 e
ln c2
b ln 1 l2
w1l1
1
1
r
w2l2
c1
1
1
r
c2
种边际变化必定使期望效用保持不变。在第 t 期，每成员平均消费的边际效用为
et Nt H 1 ct 。因此，这种变动的效用成本为 et Nt H c ct 。由于家庭在第 t 1 期 的成员数是第 t 期的 en 倍，因此第 t 1 时期每成员消费的增加为 en 1 rt1 c ，平均消费的 边 际 效 用 为 et1 Nt1 H 1 ct1 。 因 此 ， 从 第 t 1 期 来 看 的 期 望 效 用 收 益 为

求解模型
由于 ct 1 st Yt N t ，因此：
ln
1
ut ln ct b ln 1 lt ， b 0
假定在没有任何冲击时，ln At 为 A gt ，其中， g 是技术进步率。技术也会受到随机扰
动的影响，因而： ln At A gt At
A 反映冲击的影响，被假定服从一个一．阶．自．回．归．过．程．（first-orderautoregressive
process），即：
At A At1 A,t ， 1 A 1
其中， A,t 是白．噪．声．扰动——一系列互不相关的 0 均值冲击。
对政府采购做出类似的假定。每资本政府购买的趋势性增长率等于技术的趋势性增长
率；若情况并非如此，则随着时间的推移，相对于经济，政府采购将会变得任意大或任意小。
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罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义 第 4 章 真实经济周期理论 第一部分 重难点解读
4.1 导言：一些经济波动事实
图 4.1 美国的真实 GDP，1947—2004 年 表 4.1 自第二次世界大战以来美国的经济衰退
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表 4.2 产出各组成部分在经济衰退时的变动 表 4.3 经济衰退中一些重要客观经济变量的行为
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4.2 基本的真实经济周期模型
Et et1 Nt1 H en 1 rt1 ct1 c ，其中 Et 表示基于家庭在第 t 期所知道的情况（即根据
整个 t 期的经济历程）形成的条件期望。使成本和期望利益相等，则有：
et
Nt H
c ct
Et
et 1
Nt 1 H
en
1 ct 1
1 rt1
c
上式简化为：
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ct
e
Et
1
ct
1
Et
1 rt 1
Cov
1 ct 1
,1
rt
1
消费与劳动供给之间的替代
第 t 期 ， 劳 动 供 给 的 边 际 负 效 用 为 et Nt H b 1 lt ， 该 变 化 的 效 用 成 本 为 et Nt H b 1 lt l 。又由于该变化将每工人平均消费增加了 wt l ，因而它的效用收益
因而：
ln Gt G n g t Gt
Gt =GGt 1 G ,t ， 1 G 1 其中， G 是白噪声扰动，它们与 A 不相关。
4.3 家庭行为
劳动供给的跨期替代当家庭存活 2 期时，这一点最易理解。假定家庭没有初始财富并
且只有一个成员；此外，假定利率或第二期工资没有不确定性。家庭的终生预算约束变为：
劳动和资本按各自的边际产品获得报酬：
wt
1 Kt
At Lt
At
1
Kt At Lt
At效用函数的期望值：
U etu ct ,1 lt
t0
Nt H
其中，u 是家庭代表性成员的瞬时效用函数， 是贴现率。 Nt 是人口数量， H 是家