上海中学高一上期末数学试卷2020.01一、填空题1．方程lg(21)lg 1x x +-=的解为 ．2．函数y =的值域为 ．3．若幂函数图像过点(8,4)，则此函数的解析式是y = ． 4．若指数函数x y a =的定义域和值域都是[2,4]，则a = ． 5．函数2()4(0)f x x x x =-≤的反函数为1()f x -= ．6．若233log 03a a+<+，则实数a 的取值范围是 ．7．已知函数()f x 定义域为R ，且恒满足()(2)0f x f x +-=，1(1)()f x f x +=-，则函数()f x 的奇偶性为 ．8．函数225xy x x =++单调递增区间为 ．9．函数42()21x x x cf x ++=+在定义域上单调递增，则c 的取值范围为 ．10．关于x 的方程22|8||2|x m x -=+有两个不同解，则m 的取值范围为 ． 11．已知函数23()4f x ax =+，()ag x x x=+，对任意的1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得12()()f x g x ≥恒成立，则a 的取值范围为 ．12．已知函数()||1||3|1|f x x x =----，若2(46)(4)f a a f a +=，则实数a 的取值范围 为 ．二、选择题13．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(,0)-∞递增，下列一定正确的是（ ） A ．2332(0)2)2f f f--⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．2332322(log 4)f f f --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．2332322(log 4)f ff --⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．233231log 224f ff --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14．函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ）A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -15．设方程3|ln |x x -=的两个根12,x x ，则（ ）A ．120x x <B ．121x x =C ．121x x >D ．1201x x << 16．已知函数()y f x =定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当(0,2]x ∈时，()(2)f x x x =-，若对任意(,]x m ∈-∞，都有32()9f x ≤恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．13,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．14,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．16,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．17,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三、解答题17．已知函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()lg 2f x x x x =--． （1）若()f x 是偶函数，求0x <时()f x 的解析式； （2）若()f x 是奇函数，求x ∈R 时()f x 的解析式．18．设关于x 的方程1936(5)0x x k k k +-+-=． （1）若常数3k =，求此方程的解；（2）若该方程在[0,2]内有解，求k 的取值范围．19．某环线地铁按内、外线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．新调整的方案要求内环线列车平均速度为20千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，其中内环投入x 列列车． （1）写出内、外环线乘客的最长候车时间（分钟）分别关于x 的函数解析式；（2）要使内、外环线乘客的最长候车时间之差距不超过1分钟，问内、外环线应各投入几列列车运行？（3）要使内、外环线乘客的最长候车时间之和最小，问内、外环线应各投入几列列车运行？20．已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：在定义域内存在实数t ，使得 (2)()(2)f t f t f +=+．（1）判断函数()f x kx =（k 为常数）是否属于集合M ； （2）若2()ln1af x x =+属于集合M ，求实数a 的取值范围； （3）若2()2x f x bx =+，求证：对任意实数b ，都有()f x 属于集合M ．21．对于函数3f x x x c=--+．()3||1（1）当0c=，()g x的零点；g x，求函数()f x向下和向左各平移一个单位，得到函数()（2）对于常数c，讨论函数()f x的单调性；（3）当0c=，若对于函数()+>恒成立，求实数a的取值范围．f x满足()()f x a f x参考答案一、填空题1．18x = 2．[0,)+∞ 3．23x 4．2 5．24(0)x x -+≥ 6．(0,1)7．错题！ 8．[5,5]- 9．(,1]-∞ 10．1,14⎛⎤ ⎥⎝⎦ 11．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．31331313,,24⎡⎤---+⎧⎫⎡⎫+∞⎨⎬⎢⎥⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦U U 【第7题解析】111(1)(2)()1()(1)()f x f x f x f x f x f x +=-⇒+=-=-=+-，()f x 的周期为2于是()(2)0()()0f x f x f x f x +-=⇒+-=，据此可能会得出该函数为奇函数的错误结论， 由函数的定义域为R 且()0f x ≠，若其为奇函数，则必有(0)0f =，∴不存在这样的函数． 【第8题解析】0x ≠，125y x x =++，易得25xx ++在[5,0)-和(0,5]上单调递减， ∴125y x x =++在[5,0)-和(0,5]上单调递增，又注意到0x <时，0y <，0x =时，0y =，0x >时，0y >，∴函数的单调递增区间为[5,5]-．【第9题解析】令21(1)xt t =+>，于是2(1)(1)1t t c cy t t t-+-+==+-，由复合函数单调性知，内层函数21x t =+在x ∈R 上为增函数，要使得复合函数4221x x x c y ++=+在x ∈R上为增函数，则其外层函数()1cg t t t =+-在(1,)t ∈+∞上必为增函数， 任取121t t <<，则1212121212()()()1010c cg t g t t t c t t t t t t ⎛⎫-=--<⇒->⇒< ⎪⎝⎭， 由于121t t <<，∴12(1,)t t ∈+∞，∴1c ≤．【第10题解析】转化为2|8|y m x =-与22|2|2y x x =+=+ 有两个交点，显然，01m <≤，（1m >时，当x →∞时， 2|8|y m x =-图像更靠近y 轴，两函数图像有四个交点），结合图像，还必须满足82m >，∴114m <≤． 【第11题解析】即min min ()()f x g x ≥，（*）①0a <时，()f x 在[1,2]x ∈单调递减，()g x 在[1,2]x ∈单调递增，（*）式即(2)(1)f g ≥， 解得112a ≥，该情况无解；②0a =时，()f x 在[1,2]x ∈为常值34，()g x 在[1,2]x ∈单调递增，（*）式即3(1)4g ≥， 解得14a -≤，该情况无解；③0a >时，()f x 在[1,2]x ∈单调递增，()ag x x x=+为耐克函数， （ⅰ）01a <≤时，()g x 在[1,2]x ∈单调递增，（*）式即(1)(1)f g ≥，无解； （ⅱ）14a <<时，()g x 在[1,]x a ∈单调递减，在[,2]x a ∈单调递增，（*）式即(1)()f g a ≥，解得12a ≤或32a ≥，∴944a <≤；（ⅲ）4a ≥时，()g x 在[1,2]x ∈单调递减，（*）式即(1)(2)f g ≥，解得52a ≥，∴4a ≥； 综上，94a ≥． 【第12题解析】3152512()5253213x x x f x x x x ⎧⎪⎪-+<⎪=⎨⎪-<<⎪⎪⎩≤≤≥，【说明】下述分类不满足分类讨论的不重复原则（部分情况有交集），但分类的情况并无遗漏，因此对结果并无影响！①214642a a a a +=⇒=-或0a =；②22461(46)(4)341a a f a a f a a ⎧++==⇒⎨⎩≤≤，解得313313a ---+≤≤； ③222463462(46)(4)14342a a a a f a a f a a a ⎧++=+==⇒⎨=⎩≥≥或或，解得34a ≥或12a =；④()f x 在[]2,3x ∈部分关于直线52x =对称，225(46)42224(44)36a a a a a a a ⎧++=⋅⎪⎨⎪+⎩≤≤只需约束、中的一个， 无解；综上，31331313,,24a ⎡⎤---+⎧⎫⎡⎫∈+∞⎨⎬⎢⎥⎪⎢⎩⎭⎣⎭⎣⎦U U ．二、选择题13．C 14．D 15．D 16．B【第13题】注意题目条件不是(,0]-∞递增，A 不一定正确．【第14题解析】记()f x 的反函数为1()f x -，由题意，()g x 与1(1)f x --互为反函数， 1(1)()1()1y f x f y x x f y -=-⇒=-⇒=+，互换,x y ，即得()()1g x f x =-，选D ．【第15题解析】设133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭与|ln |y x = 图像的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，其中12x x <， 设|ln |y x =图像上与B 等高的另一点为32(,)C x y ， 则323223|ln ||ln |ln ln 1x x x x x x =⇒-=⇒=，如图，显然有13201x x x <<<<，∴122301x x x x <<=，选D ． 【第16题解析】(2)2()f x f x +=即()2(2)f x f x =-， [图像右移2个单位的同时，纵坐标变为原来的2倍]， 若(2,4]x ∈时，则()2(2)2(2)(4)f x f x x x =-=--， 类似可得(4,6]x ∈时，()4(4)(6)f x x x =--， 由32144(4)(6)93x x x --=⇒=或163x =，如图，当143x ≤时，恒有32()9f x ≤，选B ．三、解答题17．（1）2()lg(2)f x x x x =+--；（2）22lg(2)0()00lg(2)0x x x x f x x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+-<⎩．18．（1）3log 4x =；（2）分离参数求值域：1230(936)30315324x x x k k +-+=⇒=⎛⎫-+⎪⎝⎭，∵[0,2]x ∈，∴3[1,9]x∈，2315153,60244x ⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴1,82k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．19．2012上海春考20（1）设内环线列车运行的平均速度为v 千米/小时．由题意可知，3060109v⨯≤，解得20v ≥． 所以，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，列车的最小平均速度是20千米/小时． （2）[解法一] 设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18)x -列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为1t 、2t 分钟，则130726025t x x=⨯=，230606030(18)18t x x =⨯=--， 于是有127260118t t x x-=--≤，即2215012960,11412960,x x x x ⎧-+⎪⎨+-⎪⎩≤≤ x ， 又∵*∈N x ，所以10x =．所以，当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟．[解法二] 设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18)x -列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为1t 、2t 分钟， 则130726025t x x=⨯=，230606030(18)18t x x =⨯=--， 于是有127260118t t x x-=--≤， 记*7260()(18,)18f x x x x x =+<∈-N ，则()f x 是单调递减函数， 又(9) 1.33f ≈，(10)0.30f =-，(11) 2.03f ≈-，所以10x =．所以，当内环线投入10列，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差不超过1分钟．20．（1）(2)()(2)f t f t f +=+即22kt k kt k +=+，对t ∈R 恒成立，∴()f x M ∈； （2）222255lnln ln ()(2)11545a a a t a t t t t t +=+⇒=∈+++++R ， 由判别式法可求出[15a ∈-+；（3）2()2x f x bx M =+∈⇔方程(2)()(2)f t f t f +=+有实数解⇔方程2222(2)244t t b t bt b +++=+++有实数解⇔方程32440t bt ⋅+-=有实数解，令()3244t g t bt =⋅+-，()g t 在R 上的图像是连续的，当0b ≥时，(0)10g =-<，(1)240g b =+>，∴()g t 在(0,1)内至少存在一个零点，当0b <时，(0)10g =-<，11320b g b ⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，∴()g t 在1,0b ⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，∴对任意实数b ，()g t 在R 上存在零点，即方程(2)()(2)f t f t f +=+总有解，得证．21．（1）311x x =-=-或；（2）333331()3||1331x x c x cf x x x c x x c x c⎧-++=--+=⎨+-+<⎩≥，易证，3331y x x c =+-+在R 上单调递增，∴()f x 在(,)c -∞必定单调递增，而应用单调性的定义法证明，可证3331y x x c =-++在(,1]-∞-单调递增，[1,1]-单调递减，[1,)+∞单调递增，∴()f x 在[,)c +∞的单调性需要考虑c 与1,1-的位置关系，①1c ≥时，()f x 在[,)c +∞单调递增，②11c -<≤时，()f x 在[,1]c 单调递减，在[1,)+∞单调递增，③1c <-时，()f x 在[,1]c -单调递增，在[1,1]-单调递减，在[1,)+∞单调递增， 综上，①1c ≥时，()f x 在(,)-∞+∞单调递增，②11c -<≤时，()f x 在(,]c -∞单调递增，在[,1]c 单调递减，在[1,)+∞单调递增，③1c <-时，()f x 在(,1]-∞-单调递增，在[1,1]-单调递减，在[1,)+∞单调递增； （3）333310()3||1310x x x f x x x x x x ⎧-+=-+=⎨++<⎩≥，由（2）的分析，可大致画出()f x 的图像如右图， 要满足题意，显然0a >，即()f x a +可由()f x 向左平移a 个单位后得到，结合图像，只需()f x a +图像中x a -≥的部分位于()f x 图像中0x <的部分的上方即可，即()()f x a f x +>对[,0)x a ∈-恒成立， 也即33()3()131x a x a x x +-++>++对[,0)x a ∈-恒成立， 整理得22333(2)(3)0ax a x a a +-+->对[,0)x a ∈-恒成立，记223()33(2)(3)g x ax a x a a =+-+-，则()g x 表示开口向上的二次函数，其对称轴为222a x a -=，2222()022a a x a a a a-+--=+=>，说明对称轴在[,0)a -内，∴()0g x >只需计算0∆<，得412a >，又0a >，∴412a >．。