学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期－51－变限积分的求导公式及其应用周少波 雷冬霞 程生敏 华中科技大学数学与统计学院【摘 要】本文针对学生难以掌握的变限定积分的最为一般的求导公式，给出了学生易于理解和接受的一元函数的证明，并用实例展现了这一公式在微积分及其后继课程中的重要应用，有力说明了向学生介绍这一公式的重要意义。

【关键词】变限积分 求导公式 极限 应用【中图分类号】O172 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）19－0051－02 一 引言在微积分及其后继课程中，经常会涉及对变限定积分的求导的运算，其中包括积分上下限含有变量，或者被积函数含有除积分变量之外的变量。

对于上下限含有变量，一些教材给出了相应的计算公式，如［1，2］给出了公式（5），但是没有明确的推导过程，学生很难接受，导致用时有困难。

对于被积函数含有除积分变量之外的变量时，却没有明确的公式，一些教材或参考书给出了一些计算技巧。

例如，()F x =2()()x x t f t dt −∫，被积函数含有变量x 求导数时，一般可以采用分项求导的办法，2222()()()()()x x x x F x xf t dt tf t dt x f t dt tf t dt =−=−∫∫∫∫， 再用公式求导。

又如，2()()x F x x t f x t dt −−∫()=，采用换元u ＝x －t ，2()()()xF x x t f x t =−−∫2()x xxdt uf u du −=−∫，再应用公式（5） 求导。

利用分项或换元的办法，虽然可以解决一部分变限求导问题，但并不能解决任何形式的变限定积分的求导，特别是当被积函数含有多个变元而又不能分离变量时，用上面的方法就失效了。

又如在解偏微分方程时，经常会遇到现变限多重积分的解，当验证解的正确性时，就涉及变限多重积分的求导，面对这样的积分，学生更是无能为力。

例如无界弦强迫振动问题的解()0()1(,)2t x a t x a t f d d aττξτξτ++−−∫∫。

这是一个变限二重积分，显然，上述换元或分项的办法在此失效。

在研究动力系统的稳定性时，也会经常遇到变限积分求导的问题，因而我们很有必要为学生提供最为一般的求导公式，并给出学生易于理解和接受的证明方法。

本文正是基于这一公式的重要性和其广泛应用，给出了这一公式基于一元函数的证明方法，并给出其应用，以供大家参考。

二 变限定积分求导公式及其证明变限积分的被积函数涉及二元函数，在此我们利用变量代换将其转换成一元函数，避免了在一元微积分中偏导数的引入，利用一元微积分学知识就证明了变限积分的求导公式，有了证明才能使学生更好地使用这一公式。

定理1：假设α（x ），β（x ）在有限区间［a ，b ］上可微，f （x ，t ）在区域D ＝{（x ，t ）∶α（x ）≤t ≤β（x ），a ≤x ≤ b }上连续，且f （x ，t ）关于x 的导数(,)df x t dx也在D 上连续， 则有下面一般的Leibniz 求导公式：()()''()()(,)()((),)()((),t)+x x x x d d f x t dt x f x t x f x dx dx ββααββαα=−∫∫ (,)f x t dt （1）证明：为了避免在一元微积分中引入二元函数及其偏导 数的概念，不妨记()()()(,),()(),x x F x f x t G x F x dt βα==∫，由定积分的可加性，可以得到：()()()()()()()()x x x x x x G x x G x F x x dt F x dt ββαα+Δ+Δ+Δ−=+Δ−∫∫(+)()()()()()x x x x x F x x dt F x x dt βββαΔ=+Δ++Δ∫∫()()x x x αα+Δ+∫()()()()x x F x x dt F x dt βα+Δ−∫(+)(+)()()()()x x x x x x F x x dt F x x dt βαβαΔΔ=+Δ−+Δ∫∫()()x x βα+∫[()()]F x x F x dt +Δ−按照导数的定义，可以得到：'0()()()limx G x x G x G x xΔ→+Δ−=Δ()()()()0011lim()lim ()x x x x x x x x F x x dt F x x dt x x βαβα+Δ+ΔΔ→Δ→=+Δ−+ΔΔΔ∫∫01lim x x Δ→+Δ()()[()()]x x F x x F x dt βα+Δ−∫ （2）情况，建立网上党校教程，分别对入党积极分子、党员、基层党务工作者进行专题教育。

重点介绍支部党员培养、发展、转正等工作，同时在网上公布一些优秀的入党申请书、思想汇报范例及党课教材，供广大党员、入党积极分子进行交流，方便快捷地获取入党方面的知识。

通过网络视频讲座、网络党校测试系统等，努力提高党校教育质量，突破对象单一、功能单一的局限，扩展网站功能和服务群体。

3．党建管理系统建设建立一个党建管理系统，实践入党积极分子网络化汇报思想，网络化反馈思想汇报，网络化发展对象公示，网络化入党志愿书填写指导以及发展党员工作流程指导等，这将极大地简化日常党建流程的工作量，提高工作效率和时效性。

高校师生都有较强的网络意识，是主要的网络受众群体。

他们素质较高，对网络表现出浓厚的兴趣，并已将它作为交流和获取信息的主要渠道。

因此，改变传统党建工作相对封闭的不足，以网络技术为工作手段，用师生易于接受的方式宣传马克思主义意识形态、宣传爱国主义思想、宣传社会主义价值观，有利于提高他们的思想觉悟，坚定他们对党的信念，使学校的广大师生员工通过网络较方便地了解高校党建工作的内容，及时表达自己的意见，直接参与决策过程，进一步密切党和群众的联系，提高党在群众中的威信，促进和谐社会、和谐校园的建设。

〔责任编辑：王以富〕学园┃ACADEMY 2012年10月 第19期－52－利用积分中值定理，则可以得到：()(+)11()()00lim ()=lim ()=lim ()[()()]x x x x x x x x x F x x dt F dt F x x x ββββξξββ+ΔΔΔ→Δ→Δ→+Δ+Δ−∫∫其中1((),())x x x ξββ∈+Δ，因而：()()'10()()()limlim ()()(())x x x x x F x x dt x x x F x F x xxββββξββ+ΔΔ→Δ→+Δ+Δ−==ΔΔ∫（3）同理可得：(+)()'20()()()lim lim ()()(())x x x x x F x x dtx x x F x F x x xααααξααΔΔ→Δ→+Δ+Δ−==ΔΔ∫（4）其中2((),())x x x ξαα∈+Δ。

由于f （x ，t ）是一致连续性的，则：()()()()00[()()]()()lim lim x x x x x x F x x F x dtF x x F x dt x xββααΔ→Δ→+Δ−+Δ−=ΔΔ∫∫()()0()()lim x x x F x x F x dt xβαΔ→+Δ−=Δ∫()()()x x dF x dt dx βα=∫ （5） 联立（3）－（5）代入（2），得到：()'''()0()()()lim()(())()(())x x x G x x G x G x x F x x F x xβαββααΔ→+Δ−==−+Δ∫()dF x dt dx即是：()()''()()(,)()((),)()((),)(,)x x x x d d f x t dt x f x t x f x t f x t dt dx dx ββααββαα=−+∫∫ 由定理1容易得到求导公式：()''()()()(())()(())x x d f t dt x f x x f x dxβαββαα=−∫ （6） 0()()xd f t dt f x dx =∫ （7） 三 在微积分中的应用 显然有了公式（1），任何变限积分的求导都可以很容易地解决，在此我们给出一些例子说明这一公式的优越之处。

第一，求极限。

求21[()]x x t f u du dt →f 有连续的 导数，且f （1）＝0。

解：利用（1）式及罗必塔法则，直接计算如下：21[()]x x t f u du dt1()x x f u du →1()x f u du =2x →=2x →'2x →='第二，求函数值的单调区间2221()()x tf x x t e dt −=−∫的单调区间与极限。

解：f （x ）的定义域为（－∞，+∞），由于242'221()2()2x x t f x x x x e xe dt −−=−+∫2212x t x e dt −=∫所以f （x ）的驻点为x ＝0，±1。

因此，f （x ）的单调增加的区间为（－1，0）及（1，＋∞），单调减少区间为（－∞，－1）及（0，1）。

极小值为f （±1）＝0，极大值为f （0）21101(1)2t te dt e −−==−∫。

第三，求定积分（1999研究生入学考题）设函数f （x ） 连续，且201(2)arctan 2xtf x t dt x −=∫，已知f （1）＝1，求21()f x dx ∫。

解：令u ＝2x －t ，则20(2)(2)()x xx tf x t dt x u f u du −=−∫∫，即：221(2)()arctan 2xxx u f u du x −=∫两边关于x 求导，由定理1，得到：242()()1xx xf u du xf x x =++∫。

令x ＝1，213()4f x dx =∫。

第四，求函数值（2007研究生入学考题）假设函数f （x ）是［0，4π］上的单调函数可导函数，f －1是f 的反函数，且下述条件的f （x ）满足：()10cos sin ()cos sin f x xt tf t dt tdt t t−−=+∫∫ （6）解：对（6）两边关于x 求导，则得到：1'cos sin [()]()cos sin x xf f x f x xx x −−=+即是，''cos sin cos sin (),()cos sin cos sin x x x xxf x x f x x x x x −−==++。

因此，cos sin ()(cos sin ).cos sin x xf x dx In x x C x x −==+++∫。