2

(1-12)
1.3 数值相速（1）
~ ~ k 类似于(1-9)，定义数值相速为 v p
由（1-12）可得 （1-13）
2 ~ 1 x 1 k cos 1 cost 1 x ct
可见数值相速与频率有关。因此，由FDTD得到的数值波是色散的。
j 2 c 2 jk 2
(1-8)
（1-9） 可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意 调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步 由(1-8)可以得到群速关系 d vg c (1-10) dk 这种情况下，群速也是与频率无关。
1.2 数值色散关系(2)
xi ,t n
（1-3）
1.1 差分近似（2）
于是，有 同理，有
2u x
2 xi ,t n

u in1 2u in u in1 x
2
O x 2



(1-4） (1-5）
2u t
2 xi ,t n

u in 1 2u in u in 1 t
2
O t 2

上式称为二阶偏导数的二阶中心差分格式。 将它们代入(1-1)，得
u in 1 ct n n n n n 1 u i 1 2u i u i 1 2u i u i x （1-6） 2 2 2 2 t c O x O t
[1]A.Taflove,Computational Electrodynamics The FiniteDifference Time-Domain Method, Artech Hourse，1995. [2]高本庆，时域有限差分法，国防工业出版社，1995. [3]葛德彪，闫玉波，电磁场时域有限差分法，西电出版社，2002
色散关系定义为行波的波长随频率的变化关系。为方便起见， 色散关系也常表示为行波的波数关于角频率的变化关系。 考虑(1.1)的正弦行波解 ux, t e j t kx 代入(1-1)得
k 即 c 上式便是一维标量波动方程的色散关系。 由上式得相速度
vp k c
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
， 设在离散空间点 xi , t n ,离散行波解为 uxi , t n e ~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 式中，k 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
引言（2）
• 本课程采用研讨班形式。教师讲授 FDTD 的基本知识， 学生针对某一方向进行较深入的研究。 • 本讲我们考虑描述波动现象的最基本偏微分方程：一 维 标 量 波 动 方 程 的 数 值 FDTD 解 ， 为 以 后 二 维 、 三 维 Maxwell方程的FDTD分析奠定基础 • 课程内容取自下列的参考书和近年来相关的一些文献
uin
~ j nt k ix
将上式代入差分方程(1-6),得
2
~ ~ ct jk jt x jk x e 2e 2 e jt e x 重新组合并应用 Euler恒等式，最后得到数值色散关系为



(1-11)
~ ct cost cos k x 1 1 x
0 x ~ • 取 ct 则数值相速为v p 0.9873c 。相对误差为 ，x 2 10 -1.27%。如果物理波传播了 100 距离(100空间格)时，数值模拟波只
应当注意，在一般情况下(1-6)对时间或空间具有二阶精度。但对 于 ct x 1 的特殊情况，根据解(1-2)，可以证明
4u x
于是
2
4 ,t n
c4
4u t 4
xi ,
2 c x c 2 Ox
4u x
4
12
,t n
t 2
1.1 差分近似（1）
一维标量波动方程 上式的解为 采用Taylor 展开
2u t
2
c2
2u x
2
（1-1） （1-2）
u F ( x ct ) G( x ct )
u x 2 2 u u ( xi x, t n ) u xi ,tn x xi ,t n x 2! x 2 x 3 3 u x 4 4 u ,t 3 xi ,t n 3! x 4! x 4 1 n
2





忽略高次项，便可得到求解的差分迭代公式。
1.1 差分近似（3）
n=0 在所有空间点给uin, uin-1(i=1:imax)赋初值
n=n+1
由(1-6)在所有空间点求uin+1(i=1:imax)
No
n>nmax? Yes 结束
图1.1 一维波动方程FDTD流程图
1.1 差分近似（4）
4u
4
12 t
xi ,
O t 2
பைடு நூலகம்


所以，（1-6）中的两个剩余项抵消，得到了精确的数值差分公式 （1-7） ct x 1为“魔时间步”(Magic time 正因为有这样的奇妙特性， step).
uin1 uin1 uin1 uin1
1.2 数值色散关系(1)
时域有限差分法
第1讲 一维标量波动方程
引言（1）
• 1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了FiniteDifference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱 电磁散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这 一方法并未引起重视。
• 1972年,A.Taflovey应用FDTD研究了UHF和微波对人类 眼睛的穿透，以了解“微波白内障”的成因。Taflove 成功地应用和发展了Yee的FDTD算法。 • 80年代后期，随着高速大容量计算机的普及，FDTD法 得到了迅速发展。如今已应用于涉及波动现象的任何 领域。至今，FDTD法的研究与应用仍方兴未艾。