k~
1 x
cos 1 1
x ct
2
cost
1
（1-13）
可见数值相速与频率有关。因此，由FDTD得到的数值波是色散的。
• 取 ct x ，x 0 则数值相速为v~p 0.9873c 。相对误差为
2
10
-1.27%。如果物理波传播了100 距离(100空间格)时，数值模拟波只
传播了98.73空间格，相位误差为45.720。
• 课程内容取自下列的参考书和近年来相关的一些文献
[1]A.Taflove,Computational Electrodynamics • The FiniteDifference Time-Domain Method, Artech Hourse，1995.
[2]高本庆，时域有限差分法，国防工业出版社，1995. [3]葛德彪，闫玉波，电磁场时域有限差分法，西电出版社，2002
1.1 差分近似（1）
一维标量波动方程
2u c2 2u
t 2
x 2
上式的解为 u F(x ct) G(x ct)
（1-1） （1-2）
采用Taylor 展开
u(xi
x, tn ) u
xi ,t n
x u x
xi ,tn
x 2
2!
2u x 2
xi ,tn
x3 3!
3u x 3
xi ,tn
u
n1 i
ct x
2
u
n i 1
2u
n i
uin1
2uin uin1
（1-6）
t2 c2O x2 O t2
忽略高次项，便可得到求解的差分迭代公式。
1.1 差分近似（3）
n=0 在所有空间点给uin, uin-1(i=1:imax)赋初值
n=n+1
由(1-6)在所有空间点求uin+1(i=1:imax)
• 取 ct x ，x 0
2
20
则 v~p 0.9969c
。这时数值相速的相对
误差为0.31，减少了4倍。同样，当物理波传播了同样的 100 时
(200空间格)，数值模拟传播了199.378格，相位误差为11.1960，也
减少了4倍。误差减少了4倍反映了差分算法是二阶精度的。
1.3 数值相速（2）
• 情况2： 魔时间步 ct x
(1-12)变为
cost cos k~x
,即t
~ k x
，k~
k
。
所以，v~p v p
c
。可见，魔时间步下差分解与精确解相同。
1.4 数值群速
定义数值相速为 • 情况1 非常细网格
v~g
d
~ dk
c 2t x
sin k~x
sint
（1-14）
利用正弦函数的一阶Taylor展开，可得
将上式代入差分方程(1-6),得
e jt ct 2 e jk~x 2 e jk~x 2 e jt x 重新组合并应用 Euler恒等式，最后得到数值色散关系为
cost ct 2
cos
~ k x
1
1
x
(1-11) (1-12)
1.3 数值相速（1）
类似于(1-9)，定义数值相速为 v~p k~ 由（1-12）可得
对于一维问题，采用单向波方程
u c u t x
于是利用单向差分近似得到吸收边界条件，详细讨论 见后面章节。
结论1
本讲介绍了一维标量波动方程的FDTD求解过程：
• 利用Taylor级数展开方法获取空间/时间导数的二阶 中心差分近似，从而得到具有二阶精度的方程数值解的 时间步进迭代公式。
• 一般情况下，数值解引入了寄生的数值色散。当空 间步长和时间步长非常小时，数值解逼近精确解。当时 间步长满足魔时间步条件时，数值解等于精确解。
在FDTD模拟电磁波传播时需要设置初始条件和激励
源。最简单的源设置方法是“硬源”, 即在激励源的位置
令 u满足ui=f(n), 常用的有
正弦函数
ui=sin(nt+)
高斯函数
ui=exp[-(n-n0)2/T2]
阶跃函数
ui= 0
n<n1
= ( n-n1)/(n2-n1) n1<n<n2
=1
n>n2
• 情况1：非常细网格 t 0, x 0
根据 cos x 1 x 2 2 , 当 x 0 ，数值色散关系(1-12)变为
1 t2 2
ct x
2
1
~2 k x
2
1 1
即， 2
c 2k~ 2
，最后得
~ k
k
c
，于是有
v~p v p
。
所以，在非常细的网格条件下，差分解逼近精确解。
• 空间步长和时间步长必须满足Courant稳定性条件才能 保证数值解的稳定性。
习题1
1.1 利用Taylor级数展开方法分别推导一阶导数 u x 的二阶和四阶 精度中心差分近似。
1.2 利用数值相速和群速公式分别画出数值相速和群速 ct 0.99x
在ct 0.90x ，ct 0.50x ，ct 0.10x和
由(1-8)可以得到群速关系
vg
d
dk
c
(1-10)
这种情况下，群速也是与频率无关。
1.2 数值色散关系(2)
上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。
设在离散空间点 xi , tn ,离散行波解为 uin uxi , tn e j ntk~ix ，
式中，k~ 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况 下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群 速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。
• 本节的数值稳定性分析方法是建立在Courant等人几十 年前提出的经典方法基础上。这种方法首先把有限差 分算法分解为相互分离的时间和空间本征值问题。
1.5 数值稳定性（1）
• 时间本征值问题
2 t 2
un
numerical i
u
n i
差分近似，得
u
n1 i
2u
n i
uin1
t 2
u
n i
时域有限差分法
第1讲 一维标量波动方程
引言（1）
• 1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了FiniteDifference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱 电磁散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这 一方法并未引起重视。
• 1972年,A.Taflovey应用FDTD研究了UHF和微波对人类 眼睛的穿透，以了解“微波白内障”的成因。Taflove 成功地应用和发展了Yee的FDTD算法。
定义不变增长因子
qi
u
n 1 i
u
n i
u
n i
u
n 1 i
(1-17) (1-18)
(1-19)
1.5 数值稳定性（2）
将(1-19)代入(1-18)，有 qi2 [2 t2 ]qi 1 0，于是
2 t2
qi
2 t2 2 4
a
a2 1
2
算法稳定性要求 qi 1 。如果 a 2 1 0 ，则总有
在 ct x ，ct 0.90x 和 ct 1.01x 条件下每隔1000个时间步 画出每个传播脉冲关于位置的分布曲线。
c 2
u
n i 1
2u
n i
uin1
x 2
u
n i
(1-22)
令
u u0e jk~ix ，Eular公式可得
2c 2
x2
cos k~x 1
因为 cos k~x 1 ，所以 4c2 0
x2
(1-23)
上式给出了差分网格中任意空间Fourier模的本征值谱。
1.5 数值稳定性（4）
x 4 4!
4u x 4
1 ,tn
（1-3）
1.1 差分近似（2）
于是，有
2u
x 2
xi ,tn
uin1
2u
n i
uin1
O
x 2
x 2
(1-4）
同理，有
2u
t 2
xi ,tn
uin1 2uin uin1 O t 2
t 2
(1-5）
上式称为二阶偏导数的二阶中心差分格式。
将它们代入(1-1)，得
考虑(1.1)的正弦行波解 ux, t e j tkx 代入(1-1)得
j 2 c 2 jk 2
即
k c
上式便是一维标量波动方程的色散关系。
(1-8)
由上式得相速度
vp
k
c
（1-9）
可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意
调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步
No n>nmax? Yes 结束
图1.1 一维波动方程FDTD流程图
1.1 差分近似（4）
应当注意，在一般情况下(1-6)对时间或空间具有二阶精度。但对
于 ct x 1 的特殊情况，根据解(1-2)，可以证明
4u x 4
,tn
c4 4u t 4
xi ,
于是
c 2O x2
cx2
12
• 80年代后期，随着高速大容量计算机的普及，FDTD法 得到了迅速发展。如今已应用于涉及波动现象的任何 领域。至今，FDTD法的研究与应用仍方兴未艾。
引言（2）
• 本课程采用研讨班形式。教师讲授FDTD的基本知识， 学生针对某一方向进行较深入的研究。
• 本讲我们考虑描述波动现象的最基本偏微分方程：一 维 标 量 波 动 方 程 的 数 值 FDTD 解 ， 为 以 后 二 维 、 三 维 Maxwell方程的FDTD分析奠定基础