2019年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算下列各式，值最小的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，3.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=（）A. 2B. 3C. 4D. 54.已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A. B.C. D.5.点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的各位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 标准差6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A.B.C.D.7.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A. 必有一个内角等于B. 必有一个内角等于C. 必有一个内角等于D. 必有一个内角等于8.已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A. B.C. D.9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于（）A.B.C.D.10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A. 或B. 或C. 或D. 或二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.因式分解：1-x2=______．12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于______．13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______cm2（结果精确到个位）．14.在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cos C=______．15.某函数满足当自变量x=1时，函数值y=0，当自变量x=0时，函数值y=1，写出一个满足条件的函数表达式______．16.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.化简：--1圆圆的解答如下：--1=4x-2（x+2）-（x2-4）=-x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．18.称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为甲，乙，写出甲与乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．19.如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠B的度数．20.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．21.如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．22.设二次函数y=（x-x1）（x-x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；乙求得当x=时，y=-．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．23.如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC=60°，①求证：OD=OA．②当OA=1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m-n+2=0．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A.2×0+1-9=-8，B．2+0×1-9=-7C．2+0-1×9=-7D．2+0+1-9=-6，故选：A．有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m=-3，n=2．故选：B．直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．3.【答案】B【解析】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB=PA=3，故选：B．连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB=PA=3．本题考查了切线长定理，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：设男生有x人，则女生（30-x）人，根据题意可得：3x+2（30-x）=72．故选：D．直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出男女生的植树棵树是解题关键．5.【答案】B【解析】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了中位数、平均数．6.【答案】C【解析】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=．故选：C．先证明△ADN∽△ABM得到=，再证明△ANE∽△AMC得到=，则=，从而可对各选项进行判断．本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．7.【答案】D【解析】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C-∠B，∴2∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠C=∠A+∠B代入求出∠C即可．本题考查了三角形内角和定理的应用，能求出三角形最大角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．8.【答案】A【解析】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；C、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选：D．根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC 的距离，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10.【答案】C【解析】解：∵y=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+1，∴△=（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，∴函数y=（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=（ax+1）（bx+1）=abx2+（a+b）x+1，∴当ab≠0时，△=（a+b）2-4ab=（a-b）2＞0，函数y=（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=（ax+1）（bx+1）=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N或M=N+1．故选：C．先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．11.【答案】（1-x）（1+x）【解析】解：∵1-x2=（1-x）（1+x），故答案为：（1-x）（1+x）．根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．本题考查因式分解-运用公式法，解题的关键是明确平方差公式，会运用平方差公式进行因式分解．12.【答案】【解析】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于：．故答案为：．直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．13.【答案】113【解析】解：这个冰淇淋外壳的侧面积=×2π×3×12=36π≈113（cm2）．故答案为113．利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14.【答案】或【解析】解：若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．讨论：若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出BC=x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出BC=x，然后根据余弦的定义求cosC的值．本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用它们进行几何计算．15.【答案】y=-x+1【解析】解：设该函数的解析式为y=kx+b，∵函数满足当自变量x=1时，函数值y=0，当自变量x=0时，函数值y=1，∴解得：，所以函数的解析式为y=-x+1，故答案为：y=-x+1．根据题意写出一个一次函数即可．本题考查了各种函数的性质，题目中x、y均可以取0，故不能是反比例函数．16.【答案】2（5+3）【解析】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴=，∴=，∴x2=4a2，∴x=2a或-2a（舍弃），∴PA′=PD′=2a，∵•a•2a=1，∴a=1，∴x=2，∴AB=CD=2，PE==2，PH==，∴AD=4+2++1=5+3，∴矩形ABCD的面积=2（5+3）．故答案为2（5+3）设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，由△A′EP∽△D′PH，推出=，推出=，可得x=2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．17.【答案】解：圆圆的解答错误，正确解法：--1=--===-．【解析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．18.【答案】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①甲=50+乙．②S甲2=S乙2．理由：∵S甲2=[（48-50）2+（52-50）2+（47-50）2+（49-50）2+（54-50）2]=6.8．S乙2=[（-2-0）2+（2-0）2+（-3-0）2+（-1-0）2+（4-0）2]=6.8，∴S甲2=S乙2．【解析】（1）利用描点法画出折线图即可．（2）利用方差公式计算即可判断．本题考查折线统计图，算术平均数，方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质可知PA=PB，根据等腰三角形的性质可得∠B=∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC=2∠B；（2）根据题意可知BA=BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ=∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．20.【答案】解：（1）∵vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关于t的函数表达式为：v=，（0≤t≤4）．（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时将t=6代入v=得v=80；将t=代入v=得v=100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：8点至11点30分时间长为小时，将t=代入v=得v=＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．【解析】（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．21.【答案】解：（1）设正方形CEFG的边长为a，∵正方形ABCD的边长为1，∴DE=1-a，∵S1=S2，∴a2=1×（1-a），解得，（舍去），，即线段CE的长是；（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC=1，∴CH=0.5，∴DH=．=，∵CH=0.5，CG=，∴HG=，∴HD=HG．【解析】（1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1=S2，即可求得线段CE的长；（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．本题考查正方形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22.【答案】解：（1）当x=0时，y=0；当x=1时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1=0，x2=1，∴y═x（x-1）=x2-x，当x=时，y=-，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，∴mn=[-][-]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤-≤，0≤-≤，∴0＜mn＜．【解析】（1）将（0，0），（1，0）代入y=（x-x1）（x-x2）求出函数解析式即可求解；（2）对称轴为x=，当x=时，y=-是函数的最小值；（3）将已知两点代入求出m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2，再表示出mn=[-][-]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0≤-≤，0≤-≤，即可求解．本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键．23.【答案】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，∴∠OBC=30°，∴OD=OB=OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=，△ABC面积的最大值=×BC×AD=×2OB sin60°×=；（2）如图2，连接OC，设：∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．【解析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，即可求解．本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD=∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．。